RACCOLTA DI ESERCIZI SUL TEOREMA DI BAYES

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Ottima raccolta di esercizi sul teorma di Bayes e sul calcolo della probablita’ condizionata
Il teorema di Bayes (conosciuto anche come formula di Bayes o teorema della probabilità delle cause), proposto da Thomas Bayes, deriva da due teoremi fondamentali delle probabilità: il teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità assoluta. Viene impiegato per calcolare la probabilità di una causa che ha scatenato l’evento verificato. Per esempio si può calcolare la probabilità che una certa persona soffra della malattia per cui ha eseguito il test diagnostico (nel caso in cui questo sia risultato negativo) o viceversa non sia affetta da tale malattia (nel caso in cui il test sia risultato positivo), conoscendo la frequenza con cui si presenta la malattia e la percentuale di efficacia del test diagnostico. Formalmente il teorema di Bayes è valido in tutte le interpretazioni della probabilità. In ogni caso, l’importanza di questo teorema per la statisticaè tale che la divisione tra le due scuole (statistica bayesiana e statistica frequentista) nasce dall’interpretazione che si dà al teorema stesso.

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Considerando un insieme di alternative A_1, A_2, ... A_n (partizione dello spazio degli eventi) si trova la seguente espressione per la probabilità condizionata:

P(A_i|E) = frac{P(E | A_i) P(A_i)}{P(E)} = frac{P(E | A_i) P(A_i)}{sum_{j=1}^n P(E | A_j) P(A_j)}

Dove:

  • P(A) è la probabilità a priori o probabilità marginale di A. ‘A priori’ significa che non tiene conto di nessuna informazione riguardo E.
  • P(A|E) è la probabilità condizionata di A, noto E. Viene anche chiamata probabilità a posteriori, visto che è derivata o dipende dallo specifico valore di E.
  • P(E|A) è la probabilità condizionata di E, noto A.
  • P(E) è la probabilità a priori di E, e funge da costante di normalizzazione.

Intuitivamente, il teorema descrive il modo in cui le opinioni nell’osservare A siano arricchite dall’aver osservato l’evento E.

 

ESERCIZIO CON UTILIZZO DEL TEOREMA DI BAYES – PROBABILITA’ E STATISTICA