GALLERIA DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA CON MATHEMATICA

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Per poter Realizzare quando sotto esposto occorre possedere il software Mathematica: http://www.wolfram.co.uk/

 

E’ stato utilizzato il package ComplexMapPlot di Theodore W. Gray e Jerry Glynn, tratto dal volume

Exploring Mathematics with Mathematica

Addison-Wesley, 1991.





Attenzione! Se un’immagine non è immediatamente visibile, attivare il comando Reload.


La funzione di elevamento al quadrato


Alcuni segmenti orizzontali nel primo quadrante:


Alcuni segmenti orizzontali nel quarto quadrante:


Alcuni segmenti verticali nel primo e quarto quadrante:


L’unione delle tre famiglie di segmenti precedenti:



 




 


+ La funzione radice quadrata principale


Tutti i punti del piano complesso hanno immagini con parte reale non negativa.



 




 


+ La funzione z -> 1/z


Le circonferenze hanno come immagini circonferenze (le rette sono casi limite di circonferenze).






 


+ La funzione esponenziale


Segmenti paralleli all’asse reale hanno come immagini segmenti appartenenti a semirette uscenti dall’origine, segmenti paralleli all’asse immaginario hanno come immagini archi di circonferenza di centro l’origine:


Segmenti paralleli all’asse immaginario aventi lunghezza 2 pi greco hanno come immagine un’intera circonferenza:


Le immagini di alcune circonferenze di centro l’origine e raggi non superiori a 2:


Le circonferenze di partenza sono tutte contenute nella striscia

– pigreco < Im z <= pigreco

in cui la funzione esponenziale è iniettiva. Dunque immagini di curve semplici chiuse sono ancora curve dello stesso tipo.
Costruiamo le immagini di circonferenze di centro l’origine e raggi che vanno da valori di poco inferiori a pigreco a valori di poco superiori:


Per vedere meglio che cosa accade in prossimità dell’origine, mostriamo soltanto la finestra

-4 < Re z < 0.5, -0.5 < Im z < 0.5.

I grafici che seguono non sono monometrici.


I grafici vanno esaminati dall’alto al basso, da sinistra a destra. Il grafico che mostra l’immagine della circonferenza di raggio pigreco e’ quello a sinistra nella quarta riga. Il punto -1 è l’immagine comune dei punti
z = i pigreco, z = -i pigreco. Tutti i grafici mostrati incontrano il semiasse reale positivo nel punto di ascissa exp(-r).
Ripetiamo i grafici precedenti, mostrando soltanto l’immagine della semicirconferenza contenuta nel sempiano Re z < 0. Anche i grafici che seguono non sono monometrici.



 




 


+ La funzione logaritmo principale



I segmenti “verticali” che compaiono nel grafico di destra sono ingannevoli: essi sono le immagini di “piccoli” segmenti che hanno un estremo immediatamente al disotto del semiasse reale negativo e l’altro estremo immediatamente al disopra dello stesso semiasse.
Più esattamente: essi sono i segmenti che congiungono le immagini degli estremi dei segmenti appena descritti. Tali segmenti attraversano il semiasse reale negativo che è luogo dei punti di discontinuità della funzione logaritmo principale.
Nel seguito vengono mostrati grafici relativi a segmenti “verticali” che non attraversano il semiasse reale negativo.
Per cominciare alcuni segmenti “orizzontali”: se un punto si muove nel piano z da sinistra a destra (Re z crescente) il punto corrispondente si muove nel senso dell’avvicinamento all’asse reale.


Alcuni segmenti verticali contenuti nel primo e secondo quadrante: se un punto si muove nel piano z dal basso all’alto (Im z crescente) il punto corrispondente si muove nel senso dell’avvicinamento alla retta di ordinata 1/2, immagine del semiasse immaginario positivo.


Alcuni segmenti verticali contenuti nel terzo e quarto quadrante: i secondi estremi sono un poco al disotto dell’asse reale.



 




 


+ La funzione seno


Segmenti parallali all’asse reale hanno come immagini archi di ellissi aventi i fuochi nei punti z1 = -1, z2 = 1; tali archi sono delle semiellissi se i segmenti originali hanno lunghezza pi greco.
Segmenti paralleli all’asse immaginario hanno come immagini archi di iperboli aventi i fuochi negli stessi punti delle ellissi.






 


o Grafici del tipo z -> | f(z)|


+ Funzione seno




+ Funzione esponenziale



Commento: il grafico ottenuto mostra una superficie rigata (il valore assoluto dell’esponenziale dipende solo dalla parte reale di z).

+ Funzione z -> 1/(z^2 + z + 1)


I due poli della funzione diventano punti in cui il valore assoluto della funzione stessa tende all’infinito.