TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

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Il teorema di Shannon (o di Nyquist) fornisce la condizione necessaria affinché un segnale dopo il campionamento possa nuovamente essere ritrasformato in analogico, tramite un convertitore D/A riottenendo il segnale di partenza.

Il
teorema di Shannon (o di Nyquist)
fornisce la condizione necessaria affinché un segnale dopo il campionamento
possa nuovamente essere ritrasformato in analogico, tramite un convertitore D/A
riottenendo il segnale di partenza.

 

 

Teorema: la frequenza di campionamento di un segnale
deve essere

 

(2)

dove
fmax rappresenta la frequenza massima
contenuta nel segnale, ed è anche conosciuta come frequenza di Nyquist, mentre fc è la frequenza di campionamento.

Se nel campionare non si
rispetta questa condizione, le componenti del suono a
frequenza maggiore vengono sottocampionate e quindi ricompaiono
nel segnale campionato come elementi a componenti frequenziali
più basse secondo la seguente relazione:

(3)

Se
per esempio analizziamo al computer lo spettro di un segnale “sweep“, cioè un segnale con
frequenza variabile in modo progressivo nel tempo, sottocampionato, si può
vedere come lo spettro salga fino ad una determinata frequenza per poi tornare
indietro come se rimbalzasse su di essa. Il fenomeno appena descritto è noto
col nome di aliasing.

Figura
1: Aliasing

 

In generale lo spettro di
una sequenza ottenuta per campionamento si ricava come periodicizzazione
dello spettro del segnale analogico di partenza (Figura 5 a sinistra), con un periodo di
ripetizione in frequenza pari alla frequenza di campionamento. Se però la
frequenza di campionamento è tale che le varie repliche dello spettro centrate sui suoi multipli vengono a sovrapporsi (Figura 5 a destra), allora,
interferiscono tra di loro sommandosi e generando l’errore di aliasing, e quindi la distorsione del segnale campionato.

Figura
2

 

 

Se invece viene rispettata la condizione di Nyquist
le diverse repliche dello spettro non si sovrappongono (Figura 6), consentendo
di riprodurre il segnale senza distorsioni.

Figura
3

 

 

La frequenza limite utilizzabile per evitare aliasing
è quella di Nyquist:

 

(4)

 

Un’altra possibilità per evitare aliasing
si presenta quando abbiamo a che fare con segnali a
banda B limitata: in questo caso la
condizione da rispettare è la seguente:

 

(5)

 

Questa
condizione ci suggerisce una tecnica per evitare problemi di aliasing:

si antepone al convertitore A/D di Figura 1 un filtro anti-aliasing
che limiti la banda del segnale analogico ad un valore B’ in modo da evitare l’aliasing per la frequenza di campionamento fissata.

Di fatto il filtro anti-aliasing
si realizza tramite un filtro passa-basso in modo da
eliminare dal segnale le frequenze più alte, cioè
quelle superiori alla frequenza di Nyquist, che
provocano aliasing. Chiaramente il taglio effettuato
dal filtro deve essere tale da non ridurre eccessivamente la qualità del
segnale stesso.

Un filtro passa-basso ideale ha un andamento caratterizzato da una caduta netta
(Figura 7 in
rosso). Di fatto però, tutti i filtri reali hanno una zona di caduta non
trascurabile. L’ampiezza di questa è correlata al numero di bit del segnale e
alla frequenza di Nyquist.

Un segnale per esempio a 16 bit ha un range
in livello di 96 dB, ciò
significa che un filtro per un segnale di questo tipo deve produrre una caduta
di pari valore. Con una frequenza di campionamento di 44.1 kHz il filtro in questione è fisicamente
realizzabile. I problemi sorgono quando si ha a che
fare con segnali a 20 o più bit dove la caduta del filtro deve essere maggiore:
la soluzione adottata è quella di aumentare la frequenza di campionamento
(48-96 kHz) e quindi quella di Nyquist
ampliando così sull’asse delle frequenze la zona di caduta del filtro che
diviene realizzabile.

 

 

 

Figura
4: Filtri passa-basso

 

Oltre
che per evitare l’aliasing, filtri come quelli appena
descritti sono utilizzati quando il segnale audio
campionato deve essere trasmesso, come in un sistema di radiodiffusione, dov’è
importante ridurre al minimo il numero dei campioni/s. Infatti,
più campioni devono essere trasmessi contemporaneamente, maggiore deve essere
la capacità (e quindi il costo) del sistema di trasmissione. Per questo motivo
in alcuni standard di radiodiffusione dell’audio digitale si campiona il
segnale a 32 kHz. Questa
frequenza non soddisfa chiaramente la condizione di Nyquist
rispetto alla banda B=20 kHz,
cioè la banda udibile dall’orecchio umano, ma l’uso del filtro anti-aliasing risolve il problema mantenendo su di un
livello accettabile la qualità audio.