Il teorema di Shannon (o di Nyquist) fornisce la condizione necessaria affinché un segnale dopo il campionamento possa nuovamente essere ritrasformato in analogico, tramite un convertitore D/A riottenendo il segnale di partenza.
Teorema: la frequenza di campionamento di un segnale
deve essere
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dove fmax rappresenta la frequenza massima contenuta nel segnale, ed è anche conosciuta come frequenza di Nyquist, mentre fc è la frequenza di campionamento.
Se nel campionare non si rispetta questa condizione, le componenti del suono a frequenza maggiore vengono sottocampionate e quindi ricompaiono nel segnale campionato come elementi a componenti frequenziali più basse secondo la seguente relazione:
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Se per esempio analizziamo al computer lo spettro di un segnale “sweep“, cioè un segnale con frequenza variabile in modo progressivo nel tempo, sottocampionato, si può vedere come lo spettro salga fino ad una determinata frequenza per poi tornare indietro come se rimbalzasse su di essa. Il fenomeno appena descritto è noto col nome di aliasing.
Figura
1: Aliasing
In generale lo spettro di una sequenza ottenuta per campionamento si ricava come periodicizzazione dello spettro del segnale analogico di partenza (Figura 5 a sinistra), con un periodo di ripetizione in frequenza pari alla frequenza di campionamento. Se però la frequenza di campionamento è tale che le varie repliche dello spettro centrate sui suoi multipli vengono a sovrapporsi (Figura 5 a destra), allora, interferiscono tra di loro sommandosi e generando l’errore di aliasing, e quindi la distorsione del segnale campionato.
Figura
2
Se invece viene rispettata la condizione di Nyquist le diverse repliche dello spettro non si sovrappongono (Figura 6), consentendo di riprodurre il segnale senza distorsioni.
Figura
3
La frequenza limite utilizzabile per evitare aliasing è quella di Nyquist:
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Un’altra possibilità per evitare aliasing si presenta quando abbiamo a che fare con segnali a banda B limitata: in questo caso la condizione da rispettare è la seguente:
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Questa condizione ci suggerisce una tecnica per evitare problemi di aliasing:
si antepone al convertitore A/D di Figura 1 un filtro anti-aliasing
che limiti la banda del segnale analogico ad un valore B’ in modo da evitare l’aliasing per la frequenza di campionamento fissata.
Di fatto il filtro anti-aliasing si realizza tramite un filtro passa-basso in modo da eliminare dal segnale le frequenze più alte, cioè quelle superiori alla frequenza di Nyquist, che provocano aliasing. Chiaramente il taglio effettuato dal filtro deve essere tale da non ridurre eccessivamente la qualità del segnale stesso.
Un filtro passa-basso ideale ha un andamento caratterizzato da una caduta netta (Figura 7 in rosso). Di fatto però, tutti i filtri reali hanno una zona di caduta non trascurabile. L’ampiezza di questa è correlata al numero di bit del segnale e alla frequenza di Nyquist.
Un segnale per esempio a 16 bit ha un range in livello di 96 dB, ciò
significa che un filtro per un segnale di questo tipo deve produrre una caduta di pari valore. Con una frequenza di campionamento di 44.1 kHz il filtro in questione è fisicamente realizzabile. I problemi sorgono quando si ha a che fare con segnali a 20 o più bit dove la caduta del filtro deve essere maggiore:
la soluzione adottata è quella di aumentare la frequenza di campionamento
(48-96 kHz) e quindi quella di Nyquist ampliando così sull’asse delle frequenze la zona di caduta del filtro che diviene realizzabile.
Figura
4: Filtri passa-basso
Oltre che per evitare l’aliasing, filtri come quelli appena descritti sono utilizzati quando il segnale audio campionato deve essere trasmesso, come in un sistema di radiodiffusione, dov’è importante ridurre al minimo il numero dei campioni/s. Infatti, più campioni devono essere trasmessi contemporaneamente, maggiore deve essere la capacità (e quindi il costo) del sistema di trasmissione. Per questo motivo in alcuni standard di radiodiffusione dell’audio digitale si campiona il segnale a 32 kHz. Questa
frequenza non soddisfa chiaramente la condizione di Nyquist rispetto alla banda B=20 kHz, cioè la banda udibile dall’orecchio umano, ma l’uso del filtro anti-aliasing risolve il problema mantenendo su di un livello accettabile la qualità audio.
