VORTICI SEMILOCALI NON ABELIANI

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Il problema del confinamento del colore, legato in generale al problema
della dinamica a bassa energia delle teorie di
gauge non abeliane,

rappresenta sicuramente una delle sfide più
difficili e importanti

della fisica teorica moderna. La complicata
struttura del vuoto di

queste teorie, dominata da effetti non
perturbativi, rende tutti gli

approcci formali a nostra disposizione
insoddisfacenti.

Questo aspetto diventa cruciale nello studio delle
interazioni forti.

In questo contesto la QCD si dimostra essere un
ottimo modello. Le

informazioni dinamiche che si possono estrarre
descrivono bene, a

livello perturbativo, le proprietà di libertà
asintotica. Tuttavia

ancora nessuno sa quale sia il meccanismo dinamico
che a basse energie

realizza il confinamento dei quarks.

Un meccanismo di confinamento di confinamento
promettente è sicuramente

quello proposto da ‘t Hooft cite{Hooft
cofinamento}. L’idea è che

il confinamento sia dovuto ad una specie di
effetto Meissner {}duale’.

Nel campo della teoria dei superconduttori
l’effetto Meissner si riferisce

alla proprietà di tali materiali di espellere
completamente i campi

magnetici, che possono al massimo penetrare in
forma di sottili vortici

magnetici. Nel caso della QCD si ipotizza che il
vuoto sia un superconduttore

duale (dobbiamo scambiare il ruolo dei gradi di
libertà magnetici

ed elettrici) e che la formazione di vortici che
trasportano flusso

di colore sia responsabile del confinamento dei
quarks. La possibilità

di verificare concretamente tale ipotesi rimane
ancora al di là delle

nostre possibilità.

L’idea descritta sopra si è rafforzata negli
ultimi anni, grazie soprattutto

alla costruzione di modelli teorici in cui essa
sembra realizzarsi

in modo concreto. In questi sviluppi recenti
giocano un ruolo centrale

i vari difetti topologici (solitoni) di tipo non
abeliano. Il lavoro

di questa tesi si inserisce in questa linea di
ricerca.

Gli sviluppi di cui stiamo parlando riguardano lo
studio delle teorie

di gauge supersimmetriche. Le numerose simmetrie
di questi modelli,

combinate con l’idea della dualità
elettromagnetica hanno permesso

Seiberg e Witten di risolvere in modo completo
teorie di gauge con

supersimmetria estesa. In altre parole sono
riusciti a emph{determinare

in modo esatto} la lagrangiana efficace di basse
energie, in cui tutti

gli effetti quantistici, sia perturbativi che non
perturbativi, sono

stati risommati cite{seiberg witten1,seiberg
witten 2}. Queste soluzioni

indicano chiaramente il ruolo dei monopoli
magnetici nel fenomeno

del confinamento.

Nei lavori originali di Seiberg e Witten,
$(SU(2),,mathcal{N}=2)$,

i monopoli magnetici che appaiono come gradi di
libertà nell’infrarosso

sono di tipo abeliano (‘t Hooft-Polyakov) e il
confinamento è descritto

in termini di una superconduttività duale alla ‘t
Hooft-Mandelstam.

Tuttavia in modelli più generali, con gruppi di
gauge più estesi e

maggior contenuto in campi di materia, la dinamica
di basse energie

risulta essere molto più varia. In queste teorie
monopoli magnetici

di tipo non abeliano possono giocare un ruolo
dinamico fondamentale

cite{konishi supercon,konishi movor,konishi
monopol}.

In una particolare classe di tali modelli si
considerano teorie di

gauge supersimmetriche $SU(N+1)$, $mathcal{N}=2$.
I parametri della

teoria possono essere scelti in modo da ottenere
una classe di vuoti

in cui la simmetria di gauge viene rotta nel
seguente modo:[

SU(N+1)stackrel{v_{1}}{longrightarrow}SU(N) imes
U(1)/mathbb{Z}_{2}stackrel{v_{2}}{longrightarrow}0,]

con $v_{2}ll v_{1}$. In queste teorie sono
presenti, alle alte energie,

monopoli non abeliani il cui flusso magnetico è
confinato dai vortici

esistenti a scale di energia più piccole.

Va enfatizzata, in tutto ciò, l’importanza del
contenuto di materia

e delle simmetrie di flavour della teoria. Il
numero di flavour è

rilevante a livello quantistico, in quanto
modifica il comportamento

infrarosso e ultravioletto delle interazioni.
Inoltre, come vedremo,

la presenza di simmetrie globali può essere
rilevante, direttamente

a livello semiclassico, per le proprietà dei
difetti topologici. In

questo caso si parla in letteratura di {}difetti
semilocali’

cite{Vachaspati Achucharro,vachaspati achucharro
2}.

In questo lavoro di tesi abbiamo mostrato
esplicitamente l’occorrenza

di caratteristiche {}semilocali’ anche nel caso
dei vortici non

abeliani studiati in cite{konishi supercon,Hananay
D.Tong Vortices..},

caratterizzando completamente la struttura delle
soluzioni di singolo

vortice.

I risultati ottenuti sono stati un punto di
partenza per affrontare

un problema più generale: lo studio di
configurazioni in cui sono

presenti più vortici. E’ noto, fin dai lavori
originali cite{bogomolny,nielesen olesen,abrikosov},

che vortici abeliani separati non risentono di
forze di interazione

nel caso noto come BPS saturato cite{BPS}, ovvero
quando le masse

dei campi scalari e dei campi di gauge coincidono.
In questo caso

esiste un’intero spazio di configurazioni degeneri
in energia (spazio

dei moduli). La struttura di questo spazio è stata
determinata completamente,

nel caso abeliano, nei lavori
cite{taubes2,gibbons}.

Anche nel caso dei vortici non abeliani si
presenta la possibilità

di uno studio analogo, soprattutto in considerazione
del fatto che

la supersimmetria impone automaticamente
saturazione BPS. Nel lavoro

cite{Hananay D.Tong Vortices..} tale spazio è
stato determinato,

a livello implicito, utilizzando la teoria delle
stringhe per costruire

strutture che vengono identificate come vortici
non abeliani nella

la teoria di campo efficace generata a basse
energie. In un altro

recente lavoro cite{tong reconnect} lo spazio dei
moduli viene parzialmente

studiato nel caso di due vortici.

In questa tesi abbiamo riottenuto, e
generalizzato, gli stessi risultati

rimanendo nell’ambito della teoria di campo,
riproducendo la dimensione

dello spazio dei moduli e determinandone
implicitamente la struttura.

La conoscenza della struttura dello spazio dei
moduli per le strutture

solitoniche è molto importante, in quanto da essa
si possono ricavare

molte informazioni sulle interazioni dei solitoni
stessi a basse energie

cite{Manton,interazioni vortici metrica}.

Questa tesi è strutturata in tre parti. Nella
prima descriviamo brevemente

varie strutture solitoniche seguendo
un’impostazione tradizionale

e descrivendo i metodi topologici per la loro
classificazione. Introduciamo

quindi il concetto di difetto semilocale e
consideriamo un metodo

di classificazione generale che comprenda questo
tipo di oggetti.

Nella seconda parte introduciamo due modelli di
teorie di gauge superimmetriche,

tra i più studiati in letteratura, che contengono
vortici non abeliani.

Mostriamo come costruire esplicitamente questi oggetti
e ne descriviamo

le proprietà già note.

Infine la terza parte è quella relativa al lavoro
originale. Descriviamo

per prima cosa come studiare in modo completo un
vortice non abeliano

semilocale. Quindi introduciamo un formalismo più
generale che permette

di studiare soluzioni con un numero arbitrario di
vortici. Utilizziamo

quindi questo formalismo per studiare alcune
caratteristiche dello

spazio dei moduli nel caso più semplice di $SU(2)
imes U(1)$.

La speranza è che una conoscenza piu approfondita
della struttura

dello spazio delle soluzioni per vortici non
abeliani sia di interesse

concreto sia nello studio delle alte energie sia
nello studio di strutture

cosmologiche.