TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E PROPRIETA’ INVARIANTI: I PUNTI DI VISTA DI KLEIN E DI VON STAUDT

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Anche se si tratta di un argomento ben noto, ricordiamo l’idea centrale del “programma di Erlangen” di Felix Klein. Un tipo di geometria è assegnato quando sono dati un insieme X (non vuoto) e un gruppo G di trasformazioni su X.
Noti X e G, ci si propone di studiare le proprietà dei sottoinsiemi di X, le quali sono invarianti rispetto alle trasformazioni di G. Spesso X è dotato di una struttura, che determina il gruppo G. Per esempio, se X è dotato della struttura di spazio topologico, è naturale assumere come G il gruppo degli omeomorfismi di X e chiamare topologiche le proprietà dei sottoinsiemi di X invarianti per gli omeomorfismi di G. Si noti che così si inquadra nel “programma di Erlangen” lo studio di un singolo spazio topologico, non lo studio di tutti gli spazi topologici, cosa che si fa invece abitualmente in topologia generale.


Anche assegnato uno spazio ambiente, ci si può porre, però, oltre al problema indicato sopra, anche un problema leggermente diverso. Assegnamo ancora uno spazio topologico X; consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi (non vuoti) e tutti i possibili omeomorfismi tra tali sottoinsiemi (non soltanto le restrizioni degli omeomorfismi dell’intero spazio X).


Gli omeomorfismi che consideriamo ora non formano più gruppo; si può parlare di un gruppoide di trasformazioni.
Per le proprietà di sottoinsiemi di X, abbiamo ora due tipi di invarianza:


1) invarianza rispetto ai soli omeomorfismi di X;


2) invarianza rispetto a tutti gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X.


La seconda invarianza implica la prima (tra gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X ci sono, in particolare, le restrizioni degli omeomorfismi di X), ma non viceversa.


Per esempio, si può considerare come X lo spazio euclideo tridimensionale e come proprietà quella di una curva chiusa semplice di essere annodata (con linguaggio più tecnico: la proprietà di un nodo di essere intrecciato). Si tratta di una proprietà invariante nel primo senso, ma non nel secondo. Chiameremo “punto di vista di Klein” lo studio dell’invarianza nel primo caso, “punto di vista di von Staudt” lo studio dell’invarianza nel secondo. L’uso di questo secondo termine è forse un po’ arbitrario: conviene precisare in quale senso sia stato adottato da alcuni autori, nell’ambito della geometria proiettiva.
Nel 1847, venticinque anni prima del “programma di Erlangen”, von Staudt dimostrò che, nel piano proiettivo reale, esiste una e una sola proiettività tra due rette, che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda. È stato poi dimostrato:


a) in un qualunque piano proiettivo P, esiste almeno una proiettività tra due rette che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda;


b) si ha l’unicità se e solo se P è il piano proiettivo su un campo.


Per “punto di vista di von Staudt” si intende, propriamente, lo studio dei legami tra le proprietà di un piano proiettivo P e le proprietà del gruppo delle proiettività su una retta di P. In modo esteso, il termine è stato usato per strutture di incidenza diverse dai piani proiettivi. Con un’estensione ulteriore, e forse eccessiva, nella tesi useremo il termine anche nel senso indicato nel capoverso precedente.


Più in particolare, il contenuto della tesi è il seguente. I primi due capitoli riguardano il “programma di Erlangen” del Klein. Si
tratta di un argomento che si trova spesso esposto nei testi universitari; pertanto, non si è voluto darne una trattazione completa e si è preferito portare l’attenzione su due gruppi di trasformazioni degli spazi euclidei, meno frequentemente citati: il gruppo delle applicazioni bilipschitziane e il gruppo delle trasformazioni cremoniane intere. Entrambi contengono, come sottogruppo, il gruppo delle affinità.
Di conseguenza si inizia l’esposizione, nel primo capitolo, analizzando alcune proprietà invarianti rispetto al gruppo delle affinità, con particolare attenzione alla proprietà che lega la misura di Lebesgue di un insieme alla suddetta collezione.
In seguito, dopo alcuni richiami sulle applicazioni lipschitziane, si introduce la famiglia delle applicazioni bilipschitziane e si studia l’invarianza della dimensione di Hausdorff di un insieme.
Il secondo capitolo è dedicato alle trasformazioni cremoniane, in particolare alle trasformazioni cremoniane intere: alla caratterizzazione di alcune proprietà invarianti, segue la presentazione della “congettura dello jacobiano”.
Si passa poi al “punto di vista” di von Staudt. È sembrato opportuno incominciare con alcuni richiami di geometria proiettiva; questi
rappresentano il contenuto del capitolo successivo: si descrivono tre diverse impostazioni della geometria proiettiva, a cui si fa riferimento per definire le proiettività, le collineazioni e le involuzioni.
La costruzione grafica di un’involuzione permette di caratterizzare le quaterne armoniche: nel quarto capitolo, dopo una breve presentazione di carattere storico, si enuncia un risultato, noto come teorema di Staudt, che lega le proiettività alle corrispondenze staudiane, cioè alle corrispondenze biunivoche che mutano ogni quaterna armonica in una quaterna armonica.
Il quinto capitolo è dedicato alla discussione di alcune proprietà, prevalentemente topologiche, per le quali è possibile distinguere tra “punti di vista” di Klein e di von Staudt.
A conclusione della tesi, si presentano alcune situazioni di invarianza in altri ambiti della Matematica, con casi particolari in cui i due punti di vista coincidono.