LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA

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La funzione di distribuzione cumulativa per una variabile aleatoria continua X è definita come la probabilità che la variabile X assuma un qualsiasi valore minore di un valore x

La funzione di distribuzione cumulativa per una variabile aleatoria continua X è definita come la probabilità che la variabile X assuma un qualsiasi valore minore di un valore x:

La funzione di distribuzione cumulativa è una caratteristica di una variabile aleatoria. Essa esiste per tutte le variabili aletorie, siano esse discrete o continue.
Vediamone ora alcune proprietà fondamentali:

1) La funzione cumulativa F(x) è una funzione non decrescente, vale a dire che per  >  si ha .

 

2) Quando l’argomento x della funzione tende a – la funzione di distribuzione tende a zero:

F(-) = 0

 

3) Quando invece l’argomento x tende a + la funzione di distribuzione tende a uno:

F(+) = 1

 

Senza dare una dimostrazione rigorosa di queste proprietà vediamo come esse siano di facile comprensione attraverso un esempio: esempio che, per facilitare la comprensione, viene presentato inizialmente per variabili discrete.
Supponiamo di avere una variabile aleatoria discreta che può assumere solo cinque valori: le probabilità di ottenere i singoli valori sono raccolte nella tabella seguente.

Andiamo ora a “costruire” la funzione di distribuzione cumulativa, tenendo presente che

dove la disuguaglianza  <x sotto il segno di sommatoria significa che questa è estesa a tutti gli  inferiori ad x. Percui abbiamo

Il grafico di tale funzione è dunque il seguente:

La funzione di distribuzione cumulativa di una variabile discreta qualsiasi è sempre una funzione discontinua a gradini i cui salti sono localizzati nei punti corrispondenti ai valori possibili di questa variabile e sono uguali alle probabilità di questi valori. La somma di tutti i salti della funzione, in accordo con il terzo assioma della probabilita’ e’ pari a uno.
A mano a mano che aumenta il numero di valori possibili della variabile aleatoria e diminuiscono gli intervalli tra di essi, il numero di salti diventa sempre più grande e i salti stessi più piccoli. La curva inizialmente a gradini della funzione si avvicina così a una funzione continua, caratteristica delle variabili aleatorie continue.