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Sistemi Radar

Le antenne radar: guadagno e fascio, illuminazione e lobi laterali, parabole e Cassegrain, cosecante quadrata

Guadagno, area e larghezza del fascio, il diagramma come trasformata di Fourier dell'illuminazione dimostrato, efficienza d'illuminazione e lobi laterali, parabole, Cassegrain e illuminatori, il diagramma a cosecante quadrata dimostrato, scansione meccanica e impulsi sul bersaglio.

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L’antenna è la parte più visibile di un radar, e decide quasi tutto: il guadagno (quindi la portata, che nell’equazione radar compare al quadrato), la larghezza del fascio (quindi la risoluzione e la precisione angolare), i lobi laterali (da cui entrano clutter e disturbi), il modo in cui il radar esplora lo spazio. Questa lezione tratta le antenne radar “classiche”, a riflettore: il legame tra dimensione, guadagno e fascio, perché il diagramma è la trasformata di Fourier dell’illuminazione e come si abbassano i lobi laterali, le parabole e i sistemi Cassegrain, il diagramma a cosecante quadrata dei radar di sorveglianza, la scansione meccanica e il numero di impulsi sul bersaglio. Le schiere a scansione elettronica sono nella lezione sulle schiere di fase.

L’idea in parole semplici

Un’antenna radar è come il riflettore di un faro: la lampadina da sola illuminerebbe tutto intorno, lo specchio concentra la luce in un fascio stretto e potente. Più lo specchio è grande rispetto alla lunghezza d’onda, più il fascio è stretto e intenso. Lo stesso specchio funziona anche in ricezione: raccoglie l’eco su tutta la sua superficie e la concentra nel ricevitore, e “ascolta” solo dalla direzione in cui punta.

Un fascio perfetto illuminerebbe solo davanti. In realtà intorno al fascio principale ci sono dei fasci minori, i lobi laterali, da cui l’antenna vede (debolmente) anche altre direzioni. Il progettista può abbassarli illuminando meno i bordi dello specchio, pagando con un fascio un po’ più largo: è il compromesso principale di questa lezione.

Guadagno, area e fascio

Un’antenna di area A con efficienza \eta ha guadagno

    \[ G = \eta\,\frac{4\pi A}{\lambda^2} \]

(la stessa relazione area-guadagno dell’equazione radar, con l’area efficace A_e = \eta A). Per una parabola circolare di diametro D: G = \eta(\pi D/\lambda)^2. Con D = 1 m in banda X e \eta = 0{,}6 (valore tipico): 38,2 dB. La larghezza del fascio a −3 dB è circa 70\lambda/D gradi: 2,1°.

Guadagno e fascio sono legati: un’antenna che concentra la potenza in un fascio di \theta_a\times\theta_e gradi (azimut per elevazione) ha guadagno circa \frac{26\,000}{\theta_a\theta_e} (il numero viene da 4\pi steradianti espressi in gradi quadrati, circa 41 000, per un’efficienza tipica). Un fascio di 1° × 1° vale circa 44 dB.

Il diagramma è la trasformata di Fourier dell’illuminazione

Teorema. Per un’apertura lineare di lunghezza D con illuminazione (ampiezza e fase del campo sull’apertura) w(x), il campo lontano nella direzione \theta è

    \[ E(\theta) = \int_{-D/2}^{D/2}w(x)\,e^{j2\pi x\sin\theta/\lambda}\,dx \]

Dimostrazione. Ogni elemento dx dell’apertura irradia come una piccola sorgente. Lontano, nella direzione \theta, l’elemento in x è più vicino all’osservatore di x\sin\theta rispetto al centro, quindi il suo contributo arriva con un anticipo di fase 2\pi x\sin\theta/\lambda. Il campo totale è la somma (l’integrale) dei contributi con le loro fasi; le differenze di ampiezza dovute alla distanza sono trascurabili nel campo lontano. ∎

Con u = \frac{D}{\lambda}\sin\theta, il diagramma è la trasformata di Fourier di w: le stesse regole delle finestre nell’analisi spettrale e nella compressione d’impulso (lezione sulle forme d’onda).

  • Illuminazione uniforme: E \propto \frac{\sin\pi u}{\pi u}. Fascio più stretto possibile (0{,}886\,\lambda/D radianti, cioè 50,6 \lambda/D gradi), primo lobo laterale a −13,3 dB, efficienza 1.
  • Illuminazione a coseno (più forte al centro, nulla ai bordi): fascio 68 \lambda/D gradi, lobi a −23 dB, efficienza d’illuminazione 0,81.
  • Coseno al quadrato su un piedistallo del 10 %: fascio 72,9 \lambda/D gradi, lobi a −40 dB, efficienza 0,75.

L’efficienza d’illuminazione è \frac{|\int w\,dx|^2}{D\int|w|^2dx}: per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è al massimo 1, valore raggiunto solo dall’illuminazione uniforme. Abbassare i lobi costa quindi guadagno e larghezza del fascio. In una parabola l’illuminazione la decide l’illuminatore (la piccola antenna a tromba nel fuoco): una tromba con fascio largo illumina bene i bordi (lobi alti) ma spreca potenza oltre il bordo dello specchio (spillover); una tromba con fascio stretto spreca meno ma illumina poco i bordi. L’ottimo, per le parabole, è un’illuminazione che ai bordi scende di circa 10 dB, con efficienza totale tra 0,55 e 0,7.

Illuminazione e diagramma di un'apertura
A sinistra tre illuminazioni dell’apertura: uniforme, a coseno, a coseno al quadrato su piedistallo. A destra i diagrammi in decibel: il più stretto ha i lobi laterali più alti, quello più rastremato i lobi più bassi e il fascio più largo.

Parabole, Cassegrain e illuminatori

Una parabola trasforma l’onda sferica dell’illuminatore posto nel fuoco in un’onda piana: tutti i raggi percorrono la stessa distanza dal fuoco al piano dell’apertura (proprietà geometrica della parabola), quindi arrivano in fase. Il difetto è che l’illuminatore e i suoi sostegni stanno davanti allo specchio e ne bloccano una parte (bloccaggio), e la guida d’onda deve arrivare fino al fuoco.

Nel sistema Cassegrain un secondo specchio, iperbolico, rimanda l’onda verso il vertice della parabola, dove c’è l’illuminatore: trasmettitore e ricevitore stanno dietro lo specchio, le guide sono corte, e la struttura è compatta. È la soluzione dei radar d’inseguimento e delle grandi antenne per le comunicazioni spaziali. Per i radar che devono avere lobi molto bassi si usano parabole fuori asse (offset), con l’illuminatore fuori dal fascio e quindi senza bloccaggio.

Per il monopulse (lezione sulle schiere di fase) l’illuminatore ha quattro trombe affiancate; un circuito a microonde (il “comparatore”, fatto di giunzioni ibride) forma la somma \Sigma e le differenze \Delta_{az}, \Delta_{el}.

Il diagramma a cosecante quadrata

Un radar di sorveglianza aerea deve vedere un aereo che vola a quota costante h sia quando è lontano (a bassa elevazione) sia quando è vicino (ad alta elevazione). Un fascio largo e uniforme in elevazione sprecherebbe potenza sugli aerei vicini.

Teorema. Se il guadagno in elevazione segue G(\varepsilon) \propto \csc^2\varepsilon = \frac{1}{\sin^2\varepsilon}, un bersaglio a quota costante dà la stessa potenza d’eco a tutte le elevazioni.

Dimostrazione. Un bersaglio a quota h visto con elevazione \varepsilon è a distanza R = h/\sin\varepsilon. La potenza ricevuta è proporzionale a \frac{G^2}{R^4} \propto \frac{\csc^4\varepsilon\,\sin^4\varepsilon}{h^4} = \frac{1}{h^4}, indipendente da \varepsilon. ∎

Si realizza deformando il riflettore (la parte alta curvata diversamente) o con più illuminatori. È il diagramma tipico dei radar di sorveglianza degli aeroporti, con l’antenna larga e bassa (stretta in azimut, larga in elevazione) che gira continuamente.

La scansione meccanica

Un’antenna rotante con fascio largo \theta_B gradi, che fa un giro in T_g secondi, tiene il bersaglio nel fascio per \theta_B T_g/360 secondi e lo colpisce con

    \[ n = \frac{\theta_B\cdot PRF\cdot T_g}{360} \]

impulsi. Con un fascio di 1,5°, PRF 1 kHz e un giro ogni 6 s: 25 impulsi, da integrare (lezione sulla rivelazione). Il compromesso è tra il tempo di rivisitazione (un giro lento aggiorna i bersagli di rado) e l’energia raccolta per ogni bersaglio. Le schiere a scansione elettronica rompono questo vincolo, perché possono restare su un bersaglio quanto serve e tornarci quando serve.

In sintesi

  • Il guadagno cresce con l’area misurata in lunghezze d’onda: G = \eta\,4\pi A/\lambda^2; il fascio è circa 70\lambda/D gradi.
  • Il diagramma è la trasformata di Fourier dell’illuminazione: illuminazione uniforme, fascio stretto e lobi a −13 dB; illuminazione rastremata, lobi bassi, fascio più largo, meno guadagno.
  • Parabole e Cassegrain concentrano l’onda; l’illuminatore decide il compromesso tra spillover e rastremazione.
  • La cosecante quadrata dà un’eco costante da un aereo a quota costante.
  • Nella scansione meccanica il numero d’impulsi sul bersaglio dipende da fascio, PRF e velocità di rotazione.

Il codice

import numpy as np

# 1) apertura lineare lunga D: il diagramma è la trasformata di Fourier dell'illuminazione
x = np.linspace(-0.5, 0.5, 2001)                        # posizione sull'apertura, in unità di D
u = np.linspace(-6, 6, 24001)                           # u = (D / lambda) sin(theta)
illuminazioni = {
    "uniforme": np.ones_like(x),
    "coseno": np.cos(np.pi * x),
    "coseno^2 su piedistallo 0,1": 0.1 + 0.9 * np.cos(np.pi * x) ** 2,
}
for nome, w in illuminazioni.items():
    E = np.abs(np.exp(2j * np.pi * np.outer(u, x)) @ w)
    E /= E.max()
    dB = 20 * np.log10(E + 1e-12)
    larg = np.ptp(u[dB >= -3])                          # larghezza a -3 dB in unità di lambda/D (radianti)
    i0 = np.argmax(u >= 0)                              # il picco; poi il primo minimo alla sua destra
    k = i0 + np.argmax(np.diff(E[i0:]) > 0)
    lobo = dB[k:].max()
    eff = w.sum() ** 2 / (len(w) * (w ** 2).sum())      # efficienza d'illuminazione
    print(f"{nome:28s}: fascio {np.degrees(larg):5.1f} lambda/D gradi, primo lobo {lobo:6.1f} dB, efficienza {eff:.2f}")

# 2) parabola di 1 m in banda X
lam, D, eta = 0.03, 1.0, 0.6
G = eta * (np.pi * D / lam) ** 2
print(f"parabola di {D} m a 10 GHz: guadagno {10 * np.log10(G):.1f} dB, fascio circa {70 * lam / D:.1f} gradi")

# 3) quanti impulsi colpiscono il bersaglio durante una rotazione
fascio, PRF, giro = 1.5, 1000.0, 6.0                    # gradi, Hz, secondi per giro
print(f"impulsi sul bersaglio: {fascio / (360 / giro) * PRF:.0f}")

# 4) diagramma a cosecante quadrata: potenza ricevuta da un aereo a quota costante
h = 10e3
el = np.radians(np.array([3.0, 10.0, 30.0]))
R = h / np.sin(el)
G = 1 / np.sin(el) ** 2
print("aereo a 10 km di quota, potenza relativa G^2/R^4 alle elevazioni 3, 10, 30 gradi:", np.round(G ** 2 / R ** 4 / (G[0] ** 2 / R[0] ** 4), 3))

L’esecuzione stampa i tre casi d’illuminazione (50,6, 68,0 e 72,9 \lambda/D gradi; −13,3, −23,0 e −40,1 dB; efficienza 1,00, 0,81 e 0,75), 38,2 dB e 2,1° per la parabola, 25 impulsi sul bersaglio e la potenza relativa 1 a tutte le elevazioni con la cosecante quadrata.

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