Le schiere a fase: fattore di schiera, lobi di reticolo, sfasatori a diodi PIN, monopulse e schiere attive

Un radar con antenna parabolica rotante guarda in una direzione alla volta e impiega secondi per un giro. Un radar a schiera a fase (phased array) è fatto di centinaia o migliaia di piccole antenne affiancate; cambiando elettronicamente la fase con cui ognuna trasmette e riceve, il fascio si sposta in microsecondi, senza parti in movimento. Così un solo radar può seguire decine di bersagli, cercarne di nuovi e guidare missili quasi contemporaneamente. Questa lezione ricava il fattore di schiera, la legge di puntamento e la larghezza del fascio, dimostra la condizione contro i lobi di reticolo, spiega gli sfasatori a diodi che realizzano i ritardi di fase e la loro quantizzazione, e introduce la misura d’angolo monopulse e le schiere attive e digitali.

L’idea in parole semplici

Pensate a una fila di persone su una spiaggia che lanciano sassi in acqua nello stesso istante: le onde di tutti i sassi si sommano, e davanti alla fila parte un’onda dritta e forte. Se invece ogni persona lancia un attimo dopo quella alla sua sinistra, l’onda risultante parte di sbieco, verso destra: senza che nessuno si sia girato, la direzione dell’onda è cambiata. Una schiera a fase fa esattamente questo con le onde radio: ogni piccola antenna trasmette con un piccolo ritardo (uno sfasamento) rispetto alla vicina, e il fascio si orienta nella direzione voluta. Cambiare gli sfasamenti richiede microsecondi, quindi il fascio salta da una direzione all’altra quasi istantaneamente.

In ricezione vale lo stesso al contrario: un’eco che arriva di sbieco raggiunge prima un’estremità della fila e poi l’altra; ritardando opportunamente i segnali delle antenne prima di sommarli, si “ascolta” solo dalla direzione voluta. Bisogna però che le antenne siano abbastanza vicine (circa mezza lunghezza d’onda), altrimenti la schiera ascolta anche da altre direzioni fantasma: sono i lobi di reticolo.

La geometria del puntamento

Si considerino antenne allineate a distanza , che ricevono un’onda piana proveniente dalla direzione (misurata dalla perpendicolare alla schiera). Il fronte d’onda arriva all’elemento dopo aver percorso una strada più lunga di rispetto all’elemento 0: ogni elemento riceve il segnale con una fase in ritardo di , con . Se a ogni elemento si aggiunge uno sfasamento e si sommano le uscite, per tutti i contributi arrivano in fase e si sommano al massimo: il fascio “punta” verso .

Il fattore di schiera

Teorema. La risposta normalizzata della schiera puntata verso è

Dimostrazione. La somma dei contributi è , una serie geometrica: (raccogliendo al numeratore e al denominatore, come per il nucleo di Dirichlet della DFT). Il modulo, diviso per il massimo , è la formula. ∎

Le conseguenze per il progetto:

• larghezza del fascio a −3 dB circa : per 32 elementi a mezza lunghezza d’onda, 3,17° di fronte, 3,66° puntando a 30°, 6,4° a 60°. Il fascio si allarga inclinandosi, perché la schiera vista di sbieco sembra più corta (fattore ): per questo le schiere piane coprono in pratica ±60° e i radar navali ne usano quattro su facce diverse;
• lobi secondari a −13,2 dB, come il seno cardinale: si abbassano pesando le ampiezze (finestre di Taylor o di Chebyshev), allargando un po’ il fascio;
• sfasamento tra elementi : per e 30°, 90° tra un elemento e il successivo.

I lobi di reticolo

è periodica in con periodo : oltre al fascio principale () ci sono massimi uguali dove . Sono i lobi di reticolo: copie del fascio in altre direzioni, che vedrebbero bersagli fantasma.

Teorema. Una schiera puntata fino a non ha lobi di reticolo nello spazio visibile se .

Dimostrazione. Il primo lobo di reticolo è in , cioè . Esiste nello spazio visibile se . Il caso peggiore è con il fascio inclinato di e il lobo dall’altra parte: lo porta dentro; la condizione per tenerlo fuori è . ∎

Con non ci sono lobi di reticolo per nessun puntamento; con solo fino a 25,4°; con neppure di fronte (il lobo è a 90°). Mezza lunghezza d’onda è quindi la spaziatura standard: in banda X, 1,5 cm tra un elemento e l’altro.

Gli sfasatori a diodi

Lo sfasamento di ogni elemento si realizza con uno sfasatore. I più diffusi sono a diodi PIN, che a microonde si comportano come interruttori: polarizzati in diretta hanno una resistenza di pochi ohm, in inversa una piccola capacità. Si costruiscono sfasatori digitali a bit:

• a linee commutate (switched line): due diodi scelgono tra due tratti di linea di lunghezza diversa; la differenza di lunghezza dà uno sfasamento ;
• a linea caricata (loaded line): i diodi inseriscono piccole reattanze lungo la linea, adatti ai bit piccoli (22,5°, 45°);
• a riflessione con un accoppiatore ibrido e due diodi identici.

Mettendo in cascata bit da 180°, 90°, 45° e 22,5° si ottiene uno sfasatore a 4 bit con 16 valori. La fase voluta va arrotondata al valore più vicino: con passo ° l’errore è uniforme tra , con valore efficace °. Gli errori di quantizzazione alzano i lobi secondari e, se si ripetono periodicamente lungo la schiera, creano lobi di quantizzazione; si attenuano aggiungendo una fase casuale nota a ogni elemento. Nei radar recenti la fase si regola nei circuiti integrati dei moduli e, nelle schiere digitali, direttamente in forma numerica.

Un limite fondamentale della fase: lo sfasamento giusto dipende dalla frequenza. Con segnali a banda larga il fascio “punta” in direzioni leggermente diverse alle varie frequenze (strabismo del fascio, beam squint). Per i radar a banda larga si usano linee di ritardo vero (true time delay), che ritardano il segnale di un tempo e non di una fase.

La misura d’angolo monopulse

Per inseguire un bersaglio non basta sapere che è nel fascio: serve l’angolo preciso. Il monopulse divide l’antenna in due metà e forma, con un solo impulso, due fasci: la somma delle due metà e la differenza . Con le due metà a distanza e un bersaglio a un piccolo angolo dall’asse, le due metà ricevono con una differenza di fase , e

(con la stessa fattorizzazione di del cancellatore MTI). Il rapporto è proporzionale all’errore d’angolo, e il suo segno (dato dalla fase relativa di rispetto a ) dice da che parte. Con m in banda X, per 0,5° il rapporto è 0,49 (lineare 0,46): la relazione è lineare per errori piccoli rispetto alla larghezza del fascio. Il monopulse misura l’angolo con una precisione di una frazione della larghezza del fascio, è insensibile alle fluttuazioni d’ampiezza dell’eco (perché è un rapporto) e lo si fa in due piani (azimut ed elevazione) con quattro quadranti.

Le schiere attive e digitali

• PESA (schiera passiva): un solo trasmettitore, la cui potenza viene divisa tra gli elementi, ognuno con il suo sfasatore.
• AESA (schiera attiva): ogni elemento ha un modulo T/R (trasmissione/ricezione) con amplificatore di potenza, amplificatore a basso rumore, sfasatore e attenuatore. Più affidabile (un modulo guasto riduce di poco le prestazioni), più efficiente, capace di formare più fasci insieme. Con i transistor al nitruro di gallio (GaN) è oggi lo standard dei radar militari e di molti civili.
• Schiera digitale: il segnale di ogni elemento (o sottogruppo) viene convertito in digitale, e i fasci si formano al calcolatore con prodotti per pesi complessi. Si possono formare contemporaneamente molti fasci in ricezione, annullare un disturbatore puntando uno zero nella sua direzione (beamforming adattativo) e combinare la schiera con l’elaborazione MIMO (lezione sui radar FMCW e lezione sul radar digitale).

In sintesi

• Sfasando gli elementi di uno dall’altro, il fascio punta verso senza muovere l’antenna.
• Il fattore di schiera è un nucleo di Dirichlet: fascio largo circa , lobi a −13,2 dB senza pesatura.
• Il fascio si allarga puntando lontano dalla perpendicolare: una faccia piana copre circa ±60°.
• Per evitare i lobi di reticolo serve : mezza lunghezza d’onda va bene per ogni puntamento.
• Gli sfasatori digitali a diodi PIN hanno un errore di quantizzazione (6,5° efficaci a 4 bit); con banda larga servono ritardi veri.
• Il monopulse misura l’angolo con un solo impulso dal rapporto differenza/somma.
• Le schiere attive (AESA) hanno un modulo T/R per elemento; quelle digitali formano i fasci al calcolatore.

Il codice

import numpy as np

c = 299792458.0
lam = c / 10e9                                       # banda X
N, d = 32, lam / 2
theta = np.radians(np.linspace(-90, 90, 36001))

def fattore(punt, d=d):
    psi = 2 * np.pi * d / lam * (np.sin(theta) - np.sin(np.radians(punt)))
    with np.errstate(invalid="ignore", divide="ignore"):
        a = np.abs(np.sin(N * psi / 2) / (N * np.sin(psi / 2)))
    return np.where(np.isnan(a), 1.0, a)             # nel limite psi -> 0 vale 1

for punt in (0, 30, 60):
    gradi = np.degrees(theta[fattore(punt) >= 1 / np.sqrt(2)])
    lobo = gradi[np.abs(gradi - punt) < 10]           # solo il fascio principale
    print(f"puntamento {punt:2d} gradi: larghezza {lobo.max() - lobo.min():.2f} gradi, "
          f"formula {np.degrees(0.886 * lam / (N * d * np.cos(np.radians(punt)))):.2f}")
a = fattore(0)
print(f"primo lobo secondario: {20 * np.log10(a[np.abs(np.degrees(theta)) > 4].max()):.1f} dB")
print(f"sfasamento tra elementi per 30 gradi: {360 * d / lam * np.sin(np.radians(30)):.0f} gradi")
for dd in (0.7, 0.9):
    print(f"d = {dd} lambda: senza lobi di reticolo fino a {np.degrees(np.arcsin(1 / dd - 1)):.1f} gradi")
print(f"sfasatore a 4 bit: passo 22,5 gradi, errore efficace {22.5 / np.sqrt(12):.2f} gradi")

D = 0.5                                              # monopulse: due metà a 0,5 m
for err in (0.25, 0.5, 1.0):
    phi = 2 * np.pi * D / lam * np.sin(np.radians(err))
    print(f"errore {err} gradi: Delta/Sigma = {np.tan(phi / 2):.3f}, lineare {np.pi * D * np.radians(err) / lam:.3f}")

L’esecuzione stampa le larghezze 3,17, 3,66 e 6,38° (formula 3,17, 3,66 e 6,35), il lobo a −13,2 dB, 90°, 25,4° e 6,4° per le spaziature 0,7λ e 0,9λ, 6,50° di errore efficace, e per il monopulse 0,23, 0,49 e 1,30 contro 0,23, 0,46 e 0,91 dell’approssimazione lineare.