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Antenne

Schiere di antenne: fattore di schiera, puntamento e lobi di reticolo

Principio di moltiplicazione, fattore della schiera lineare uniforme con dimostrazione, puntamento elettronico, condizione contro i lobi di reticolo dimostrata, ampiezza del fascio, rastremazione, schiere digitali e MIMO massivo.

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Mettendo insieme più antenne uguali e alimentandole con ampiezze e fasi scelte, si ottiene un’antenna più direttiva il cui fascio si può orientare elettronicamente, senza muovere nulla. Le schiere a fase sono nei radar militari e meteorologici, nelle stazioni base del 5G, nei terminali dei satelliti a bassa orbita. Il corso di Campi elettromagnetici le ha introdotte. In questa lezione dimostriamo il fattore di schiera di una schiera lineare uniforme, vediamo come si orienta il fascio, dimostriamo la condizione per evitare i lobi di reticolo, e vediamo l’ampiezza del fascio, la rastremazione dei lobi secondari e le schiere digitali.

Il principio di moltiplicazione

Una schiera di N elementi uguali e orientati allo stesso modo ha un campo pari al campo di un singolo elemento moltiplicato per il fattore di schiera (AF), che dipende solo dalle posizioni, dalle ampiezze e dalle fasi di alimentazione:

    \[ \mathbf{E}_{schiera} = \mathbf{E}_{elemento}\cdot AF(\theta, \varphi) \]

Il motivo è che ogni elemento produce lo stesso campo, spostato nello spazio: nel campo lontano lo spostamento diventa solo un fattore di fase e^{jk\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}_n} (lezione sul campo lontano).

La schiera lineare uniforme

Si considerino N elementi allineati lungo l’asse z, con passo d, ampiezze uguali e una fase che cresce di \beta da un elemento al successivo. La differenza di fase totale tra elementi adiacenti, nella direzione \theta, è

    \[ \psi = kd\cos\theta + \beta \]

Teorema. Il fattore di schiera normalizzato è

    \[ AF(\psi) = \frac{\sin(N\psi/2)}{N\sin(\psi/2)} \]

Dimostrazione. AF = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e^{jn\psi}, una serie geometrica di ragione e^{j\psi}, uguale a \frac{1}{N}\frac{e^{jN\psi} - 1}{e^{j\psi} - 1}. Raccogliendo e^{jN\psi/2} al numeratore e e^{j\psi/2} al denominatore restano 2j\sin(N\psi/2) e 2j\sin(\psi/2), più un fattore di fase di modulo 1. ∎

È la stessa funzione della media mobile (lezione sulla DTFT di Elaborazione numerica dei segnali): una schiera di antenne è un filtro spaziale, e l’angolo gioca il ruolo della frequenza. Il massimo, uguale a 1, si ha per \psi = 0; gli zeri per N\psi/2 = \pm\pi, \pm 2\pi, \dots; il primo lobo secondario è a −13,3 dB.

Orientare il fascio

Il massimo cade dove \psi = 0, cioè kd\cos\theta_0 + \beta = 0. Per puntare nella direzione \theta_0 basta quindi scegliere

    \[ \beta = -kd\cos\theta_0 \]

Con \beta = 0 il fascio è perpendicolare alla schiera (schiera trasversale, broadside); con \beta = -kd è lungo la schiera (longitudinale, endfire). Cambiare la fase degli sfasatori in pochi microsecondi sposta il fascio: è la scansione elettronica.

Fattore di schiera di 8 elementi distanziati di mezza lunghezza d'onda
In blu la schiera trasversale, con il fascio a 90 gradi dall’asse. In rosso la stessa schiera con la fase progressiva scelta per puntare a 60 gradi: il fascio si sposta e si allarga un poco.

I lobi di reticolo

Se gli elementi sono troppo distanti, compaiono altri lobi alti quanto il principale, i lobi di reticolo, che disperdono potenza in direzioni indesiderate e confondono la direzione d’arrivo.

Teorema. Una schiera puntata nella direzione \theta_0 non ha lobi di reticolo nello spazio reale se

    \[ d \lt \frac{\lambda}{1 + |\cos\theta_0|} \]

Dimostrazione. AF vale 1 ogni volta che \psi è un multiplo di 2\pi. Al variare di \theta da 0 a \pi, \psi = kd\cos\theta + \beta percorre l’intervallo [\beta - kd, \beta + kd], la regione visibile. Con \beta = -kd\cos\theta_0, il lobo principale è in \psi = 0; un lobo di reticolo comparirebbe se la regione visibile arrivasse a \psi = \pm 2\pi. Il suo estremo più lontano da zero è kd(1 + |\cos\theta_0|) in modulo. Non raggiunge 2\pi se kd(1 + |\cos\theta_0|) \lt 2\pi, cioè d \lt \lambda/(1 + |\cos\theta_0|). ∎

Per una schiera trasversale basta d \lt \lambda; per poter puntare fino all’asse serve d \lt \lambda/2. Per questo le schiere a fase usano quasi sempre elementi a mezza lunghezza d’onda.

Ampiezza del fascio e lobi secondari

Per una schiera trasversale lunga Nd, l’ampiezza a metà potenza è circa

    \[ \theta_{3dB} \approx 0{,}886\,\frac{\lambda}{Nd}\ \text{rad} \]

inversamente proporzionale alla lunghezza in lunghezze d’onda. Puntando lontano dalla perpendicolare il fascio si allarga come 1/\sin\theta_0: la schiera “vista di sbieco” sembra più corta. Con 8 elementi a \lambda/2 il fascio è largo circa 12,7°.

I lobi secondari a −13 dB sono troppo alti per un radar, che vedrebbe un bersaglio forte anche fuori dal fascio. Si rastrema l’alimentazione: gli elementi centrali ricevono più ampiezza di quelli ai bordi, esattamente come le finestre per i filtri FIR (lezione sulle finestre). Le distribuzioni di Dolph-Chebyshev e di Taylor danno lobi secondari a −30 o −40 dB, al prezzo di un fascio un po’ più largo e di qualche decimo di decibel di guadagno.

Schiere planari e digitali

Disponendo gli elementi su un piano si orienta il fascio in due dimensioni. Le schiere moderne sono attive: ogni elemento ha il proprio modulo con amplificatori e sfasatori, e un guasto ne spegne uno solo. Nelle schiere digitali ogni elemento, o ogni piccolo gruppo, ha il proprio convertitore, e la formazione del fascio (beamforming) avviene nel calcolatore: si possono formare molti fasci contemporaneamente, verso utenti diversi. È il principio del MIMO massivo delle stazioni 5G, con 64 o più elementi, e dei terminali per satelliti in orbita bassa, che seguono un satellite che attraversa il cielo in pochi minuti senza parti in movimento.

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