Propagazione: modello a due raggi, zone di Fresnel, atmosfera e pioggia
Formula di Friis, modello a due raggi e legge della quarta potenza dimostrata, zone di Fresnel con dimostrazione ed esempio, curvatura terrestre, ionosfera, pioggia e gas, modelli empirici urbani.
Tra due antenne l’onda raramente viaggia come nello spazio vuoto: c’è il suolo che la riflette, ci sono ostacoli che la bloccano o la diffrangono, l’atmosfera che la piega, la pioggia che la assorbe. In questa lezione partiamo dalla formula di Friis e vediamo il modello a due raggi con la dimostrazione della legge della quarta potenza, le zone di Fresnel con la dimostrazione del loro raggio, la curvatura della Terra, la propagazione ionosferica e troposferica, l’attenuazione da pioggia e gas, e i modelli empirici usati per le reti cellulari.
Lo spazio libero
Nello spazio libero vale la formula di Friis (lezione sulle antenne di Campi elettromagnetici):
![\[ \frac{P_r}{P_t} = G_tG_r\left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c125a86277ca1ad119f2fb14c68bd502_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La potenza ricevuta decresce come 
: 6 dB in meno a ogni raddoppio della distanza, 20 dB per decade.
Il modello a due raggi
Sopra un terreno piano, al ricevitore arrivano il raggio diretto e quello riflesso dal suolo. Per incidenza radente il coefficiente di riflessione del terreno è circa 
(lezione sulla riflessione di Campi elettromagnetici).
Teorema. Per distanze 
, la differenza di cammino tra i due raggi è 
, e per 
![\[ P_r \approx P_t\,G_tG_r\,\frac{h_t^2h_r^2}{d^4} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d6323268aceef260f859b6933f75421_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Il raggio diretto percorre 
, quello riflesso, per il metodo delle immagini, 
. Con 
, la differenza è ![[(h_t + h_r)^2 - (h_t - h_r)^2]/(2d) = 2h_th_r/d](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43f45e2728b09a28be9b683960e5e1a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Con riflessione e ampiezze circa uguali, il campo totale è quello diretto moltiplicato per 
. Quando 
, cioè lontano, il fattore vale circa 
. In potenza: 
. ∎
Oltre la distanza di rottura 
la potenza cala di 40 dB per decade invece di 20, e non dipende più dalla frequenza; prima, i due raggi interferiscono e la potenza oscilla. Alzare le antenne aiuta molto: raddoppiare l’altezza di una delle due dà 6 dB.
Le zone di Fresnel
Un collegamento in visibilità non ha bisogno solo che la linea retta tra le antenne sia libera: l’onda occupa un volume attorno a essa.
Teorema. Il raggio della 
-esima zona di Fresnel, in un punto a distanze 
e 
dalle due antenne (
), è
![\[ r_n = \sqrt{\frac{n\lambda d_1d_2}{d}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62ed1a5945e4270f5c933d978f619642_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. La zona è il luogo dei punti per cui il cammino passando di lì supera quello diretto di 
. Per un punto a distanza 
dalla congiungente, il cammino vale 
. Imponendo che l’eccesso sia : 
, da cui la formula. ∎
Se la prima zona è libera per almeno il 60 % del suo raggio, l’attenuazione è praticamente quella dello spazio libero. Esempio. Un ponte radio di 10 km a 6 GHz (
cm) ha, a metà percorso, 
m: le antenne vanno alzate in modo che a metà percorso ci siano almeno 7 m liberi sopra alberi ed edifici. Un ostacolo che invade la zona provoca diffrazione e attenuazione aggiuntiva, che si calcola con i modelli a spigolo.
La curvatura della Terra e l’atmosfera
Sui collegamenti lunghi conta anche la curvatura della Terra. L’indice di rifrazione dell’aria diminuisce con la quota, e le onde si piegano leggermente verso il basso: si tiene conto di questo usando nei calcoli un raggio terrestre fittizio pari a 
di quello vero, e l’orizzonte radio risulta più lontano di quello ottico, circa 
km con 
in metri. In condizioni particolari (inversioni termiche sul mare) si formano condotti che portano i segnali VHF e UHF a centinaia di chilometri.
Sotto i 30 MHz la ionosfera, gli strati di gas ionizzato tra 60 e 400 km di quota, riflette le onde corte verso terra: con uno o più rimbalzi si raggiungono gli antipodi, ma le condizioni cambiano con l’ora, la stagione e il ciclo solare. Sopra qualche gigahertz la ionosfera è trasparente.
Pioggia e gas
Sopra i 10 GHz le gocce di pioggia, di dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda, assorbono e diffondono l’energia: a 20 GHz un temporale da 50 mm/h attenua di alcuni decibel per chilometro. I collegamenti satellitari in banda Ka e i ponti radio a onde millimetriche si dimensionano con un margine di pioggia sulla base delle statistiche locali. I gas atmosferici hanno righe di assorbimento: il vapore acqueo a 22 GHz e l’ossigeno attorno a 60 GHz, dove l’attenuazione supera i 10 dB/km. Quest’ultima banda è usata proprio per collegamenti corti che non devono disturbarsi a distanza.
I modelli empirici
Negli ambienti urbani i raggi sono moltissimi (lezione sul canale a cammini multipli di Comunicazioni elettriche). Per dimensionare le reti si usano modelli empirici della forma
![\[ L(d) = L(d_0) + 10\,n\log_{10}\frac{d}{d_0} + X_\sigma \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-662c9ae80e1c66ce748c20c04cb65da4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con un esponente da 2 (spazio libero) a 4 o più (città dense, interni), ricavato da campagne di misura, e una variabile aleatoria 
che rappresenta l’ombreggiamento degli edifici, con deviazione standard di 6-10 dB. I modelli di Okumura-Hata e quelli dell’ITU e del 3GPP sono costruiti in questo modo.
