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Antenne

Potenziale vettore, campo lontano e distanza di Fraunhofer

Potenziale vettore ritardato, approssimazione di campo lontano, campi trasversali, distanza di Fraunhofer dimostrata, regioni reattiva, di Fresnel e di Fraunhofer, dipolo corto in tre righe.

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Per calcolare il campo di un’antenna qualsiasi non si risolvono le equazioni di Maxwell da capo ogni volta. Si passa per il potenziale vettore, che si ottiene dalle correnti con un integrale, e lontano dall’antenna le formule si semplificano molto. In questa lezione vediamo il potenziale vettore ritardato, l’approssimazione di campo lontano e il campo che ne risulta, la dimostrazione della distanza di Fraunhofer, le tre regioni attorno a un’antenna e l’esempio del dipolo corto.

Il potenziale vettore

Con correnti sinusoidali di pulsazione \omega, il campo magnetico si scrive come rotore di un potenziale vettore, \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}, e con la scelta (gauge) di Lorenz il potenziale soddisfa l’equazione di Helmholtz con sorgente \nabla^2\mathbf{A} + k^2\mathbf{A} = -\mu\mathbf{J}, con k = 2\pi/\lambda (lezione sulle onde piane). La soluzione è il potenziale ritardato:

    \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\frac{e^{-jkR}}{R}\,dV',\qquad R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'| \]

Ogni elemento di corrente contribuisce con un’onda sferica che parte dalla sua posizione: il fattore e^{-jkR} è il ritardo di propagazione, 1/R l’attenuazione sferica. Una volta noto \mathbf{A}, i campi si ottengono con le derivate.

L’approssimazione di campo lontano

Si mette l’origine dentro l’antenna, di dimensione massima D, e si osserva a distanza r \gg D in una direzione che forma l’angolo \psi con il vettore \mathbf{r}' di un punto della sorgente.

Geometria del campo lontano
Dal punto di osservazione P lontano, le distanze R dai vari punti dell’antenna di dimensione D differiscono dalla distanza r dal centro di circa r primo coseno psi: i raggi sono quasi paralleli, e quello che conta è solo la differenza di cammino.

Sviluppando la distanza: R = \sqrt{r^2 - 2rr'\cos\psi + r'^2} \approx r - r'\cos\psi + \frac{r'^2\sin^2\psi}{2r}. Nel denominatore 1/R basta R \approx r; nell’esponente invece le differenze di distanza contano anche se piccole, perché sono confrontate con la lunghezza d’onda. Si tiene R \approx r - \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}' e si trascura il termine quadratico. Allora

    \[ \mathbf{A} \approx \frac{\mu\,e^{-jkr}}{4\pi r}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,e^{jk\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'}\,dV' \]

L’integrale dipende solo dalla direzione \hat{\mathbf{r}}: è una specie di trasformata di Fourier spaziale della distribuzione di corrente. Il campo lontano è un’onda sferica, con andamento e^{-jkr}/r, modulata da una funzione della sola direzione. I campi sono trasversali:

    \[ E_\theta \approx -j\omega A_\theta,\qquad E_\varphi \approx -j\omega A_\varphi,\qquad \mathbf{H} = \frac{\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{E}}{\eta} \]

con \eta \approx 377\ \Omega: localmente un’onda piana.

La distanza di Fraunhofer

Teorema. L’errore di fase dovuto al termine trascurato è al massimo \pi/8 se

    \[ r \ge \frac{2D^2}{\lambda} \]

Dimostrazione. Il termine trascurato nell’esponente è k\,r'^2\sin^2\psi/(2r). È massimo per i punti al bordo dell’antenna, r' = D/2, e per \sin\psi = 1: vale k(D/2)^2/(2r) = kD^2/(8r) = \pi D^2/(4\lambda r). Imponendo che non superi \pi/8: \pi D^2/(4\lambda r) \le \pi/8, cioè r \ge 2D^2/\lambda. ∎

Un errore di fase di \pi/8 (22,5°) altera poco il lobo principale e il guadagno, ed è la convenzione usata in tutte le misure. Esempio. Una parabola da 1 m a 10 GHz (\lambda = 3 cm) ha la distanza di Fraunhofer a 2\cdot 1/0{,}03 \approx 67 m: per misurarne il diagramma servono poligoni lunghi o le tecniche della lezione sulle misure.

Le tre regioni

Attorno a un’antenna si distinguono:

  • il campo vicino reattivo, entro circa 0{,}62\sqrt{D^3/\lambda} (per le antenne piccole, circa \lambda/2\pi): l’energia è soprattutto immagazzinata e scambiata con l’antenna, come nel campo di un condensatore o di un induttore;
  • il campo vicino radiativo (regione di Fresnel), fino a 2D^2/\lambda: l’energia si propaga, ma la forma del diagramma dipende ancora dalla distanza;
  • il campo lontano (regione di Fraunhofer), oltre 2D^2/\lambda: il diagramma non cambia più con la distanza, e il campo decresce come 1/r.

Le antenne RFID a 13,56 MHz e la ricarica senza fili lavorano nel campo vicino reattivo, con accoppiamento induttivo; le comunicazioni radio nel campo lontano.

L’esempio del dipolo corto

Un filo lungo \ell \ll \lambda lungo l’asse z, percorso da una corrente uniforme I, ha potenziale A_z = \mu I\ell\,e^{-jkr}/(4\pi r). La sua componente lungo \hat{\theta} è A_\theta = -A_z\sin\theta, e quindi

    \[ E_\theta = j\eta\,\frac{kI\ell}{4\pi r}\,\sin\theta\,e^{-jkr} \]

lo stesso risultato ottenuto nella lezione sul dipolo elementare di Campi elettromagnetici, ma in tre righe. Il diagramma è \sin^2\theta in potenza: nullo lungo il filo, massimo nel piano perpendicolare. Con lo stesso procedimento, integrando su correnti diverse, si calcolano i dipoli lunghi, le schiere e le aperture delle lezioni successive.

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