ELECTRONICS ENGINEERINGelectronics-engineering.com

Esercizi sulla trasformata di Fourier svolti, con i grafici

Dodici esercizi con soluzione: esponenziali, impulsi ritardati, convoluzione, modulazione, dualità, Parseval, filtro RC, energia in banda, aliasing, principio di indeterminazione.

ielettronica 25 ottobre 2026 9 min di lettura 1 commento

https://www.electronics-engineering.com/esercizi-trasformata-di-fourier-svolti

Nessun voto ancora: sii il primo a votare questa pagina.

Esercizi sulla trasformata di Fourier del tipo che si danno nei corsi di Metodi matematici per l’ingegneria e di Teoria dei segnali, in tre livelli: base, con le trasformate dalla definizione; medio, con proprietà, convoluzione, dualità e Parseval; esame, con filtri, energia, campionamento e principio di indeterminazione. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa, con il grafico, si apre con un clic. Convenzione: $F(\omega) = \int f(t)e^{-i\omega t}dt$ ; $\text{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$ .

Livello base

Esercizio 1. L’esponenziale bilatero

Calcola la trasformata di $f(t) = e^{-a|t|}$ , con $a \gt 0$ .

Risultato: $F(\omega) = \dfrac{2a}{a^2 + \omega^2}$ .

Soluzione

Si spezza l’integrale nei due semiassi:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{0}e^{(a - i\omega)t}dt + \int_0^{\infty}e^{-(a + i\omega)t}dt = \frac{1}{a - i\omega} + \frac{1}{a + i\omega} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$

Gli integrali convergono perché $a \gt 0$ . La trasformata è reale e pari, come il segnale (un segnale reale e pari ha spettro reale e pari). La forma $\frac{1}{a^2 + \omega^2}$ si chiama lorentziana: è lo spettro del rumore che esce da un filtro RC.

Esponenziale bilatero e sua trasformata — A sinistra il segnale e alla meno a valore assoluto di t con a uguale a 1, con una punta nell’origine; a destra la trasformata, una lorentziana di altezza 2.

Esercizio 2. L’esponenziale unilatero: modulo e fase

Calcola la trasformata di $f(t) = e^{-at}u(t)$ e scrivine modulo e fase. Quanto valgono per $\omega = a$ ?

Risultato: $F = \dfrac{1}{a + i\omega}$ ; $|F| = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}$ , $\arg F = -\arctan\dfrac{\omega}{a}$ ; in $\omega = a$ : $\dfrac{1}{a\sqrt 2}$ e $-45°$ .

Soluzione

$F(\omega) = \int_0^\infty e^{-(a + i\omega)t}dt = \dfrac{1}{a + i\omega}$ .

Moltiplicando per il coniugato: $F = \dfrac{a - i\omega}{a^2 + \omega^2}$ , quindi $|F| = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}$ e $\arg F = -\arctan(\omega/a)$ .

In $\omega = a$ il modulo è $\frac{1}{\sqrt 2}$ del valore in 0 (cioè $-3$ dB) e la fase è $-45°$ . È la frequenza di taglio del filtro RC, con $a = 1/RC$ : la risposta impulsiva del filtro è proprio $\frac{1}{RC}e^{-t/RC}u(t)$ .

Esponenziale unilatero e il suo spettro — A sinistra il segnale, che salta a 1 nell’origine e poi decresce; a destra il modulo della trasformata, in blu, e la fase, in rosso tratteggiato, che va da più 90 a meno 90 gradi passando per zero.

Esercizio 3. Un impulso ritardato

Calcola la trasformata dell’impulso che vale 1 per $2 \lt t \lt 4$ e 0 altrove. Che cosa cambia rispetto all’impulso centrato nell’origine?

Risultato: $F(\omega) = 2\,\text{sinc}(\omega)\,e^{-3i\omega}$ ; il modulo è lo stesso, la fase diventa lineare.

Soluzione

L’impulso ha durata $T = 2$ ed è centrato in $t_0 = 3$ : è $\text{rect}_2(t - 3)$ . L’impulso centrato ha trasformata $T\,\text{sinc}(\omega T/2) = 2\,\text{sinc}(\omega)$ (lezione), e per la proprietà del ritardo si moltiplica per $e^{-i\omega t_0}$ :

$F(\omega) = 2\,\text{sinc}(\omega)\,e^{-3i\omega}$

Il modulo $2|\text{sinc}(\omega)|$ non cambia: lo spettro di ampiezza non dice quando avviene il segnale. Cambia la fase, che aggiunge $-3\omega$ : una retta di pendenza uguale a meno il ritardo. È il motivo per cui un filtro che non deve deformare un segnale deve avere fase lineare (tutte le frequenze ritardate dello stesso tempo).

Impulso ritardato e suo spettro — A sinistra l’impulso tra 2 e 4; a destra il modulo della trasformata, in blu, uguale a quello dell’impulso centrato, e la fase, in rosso tratteggiato, che scende linearmente e viene riportata tra meno pi greco e pi greco.

Esercizio 4. Il triangolo come convoluzione

Mostra che la convoluzione di $\text{rect}_1$ con se stesso è il triangolo $\text{tri}_1$ (base da $-1$ a 1, altezza 1) e ricava la trasformata del triangolo.

Risultato: $\mathcal F\{\text{tri}_1\} = \text{sinc}^2(\omega/2)$ .

Soluzione

$(\text{rect}_1 * \text{rect}_1)(t) = \int\text{rect}_1(\tau)\,\text{rect}_1(t - \tau)\,d\tau$ è la lunghezza della sovrapposizione tra l’intervallo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ e lo stesso intervallo traslato di $t$ . È 1 per $t = 0$ , decresce linearmente fino a 0 per $|t| = 1$ : $1 - |t|$ , il triangolo.

Per il teorema di convoluzione la trasformata è il prodotto: $\left(\text{sinc}(\omega/2)\right)^2$ .

Calcolarla direttamente dalla definizione richiederebbe due integrazioni per parti: la convoluzione è una scorciatoia potente.

Triangolo e suo spettro — A sinistra il triangolo di base da meno 1 a 1; a destra la sua trasformata, sinc al quadrato, sempre positiva, confrontata con il modulo della sinc semplice tratteggiato.

Livello medio

Esercizio 5. La modulazione d’ampiezza

Un segnale $x(t)$ ha spettro triangolare, nullo per $|\omega| \gt 2$ . Si trasmette $y(t) = x(t)\cos(8t)$ . Disegna lo spettro di $y$ e spiega come si recupera $x$ .

Risultato: $Y(\omega) = \frac{1}{2}X(\omega - 8) + \frac{1}{2}X(\omega + 8)$ : due copie dimezzate centrate in $\pm 8$ .

Soluzione

$\cos 8t = \frac{1}{2}\left(e^{i8t} + e^{-i8t}\right)$ , e per la proprietà di modulazione ogni esponenziale trasla lo spettro: $Y(\omega) = \frac{1}{2}X(\omega - 8) + \frac{1}{2}X(\omega + 8)$ .

Le copie occupano le bande $6 \lt |\omega| \lt 10$ e non si sovrappongono perché $8 \gt 2$ . Per recuperare $x$ (demodulazione) si moltiplica di nuovo per $\cos 8t$ : si ottiene $\frac{1}{2}x(t) + \frac{1}{2}x(t)\cos 16t$ , e un filtro passa basso elimina il termine a pulsazione 16. È lo schema di ogni radio AM e, con piccole varianti, della trasmissione digitale.

Spettro prima e dopo la modulazione — A sinistra lo spettro del segnale in banda base; a destra lo spettro modulato, con due copie di altezza metà centrate in più e meno omega zero.

Esercizio 6. La dualità

Sapendo che $\mathcal F\{e^{-|t|}\} = \frac{2}{1 + \omega^2}$ , calcola la trasformata di $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ senza integrare.

Risultato: $\pi\,e^{-|\omega|}$ .

Soluzione

Dualità: se $g(t) \leftrightarrow G(\omega)$ , allora $G(t) \leftrightarrow 2\pi g(-\omega)$ . Con $g = e^{-|t|}$ , $G = \frac{2}{1 + \omega^2}$ :

$\mathcal F\left\{\frac{2}{1 + t^2}\right\} = 2\pi e^{-|\omega|} \quad\Rightarrow\quad \mathcal F\left\{\frac{1}{1 + t^2}\right\} = \pi e^{-|\omega|}$

Calcolarla direttamente richiederebbe il teorema dei residui (lezione). Controllo: $F(0) = \pi = \int\frac{dt}{1 + t^2}$ , l’area del segnale.

Si noti che il segnale è liscio (infinitamente derivabile) e lo spettro decresce in modo esponenziale; lo spettro ha una punta in 0 e il segnale decresce solo come $1/t^2$ . Regolarità da una parte, decadimento dall’altra.

La funzione 1 su 1 più t quadro e la sua trasformata — A sinistra il segnale, liscio e con code lente; a destra la trasformata divisa per pi greco, l’esponenziale e alla meno valore assoluto di omega, con una punta nell’origine.

Esercizio 7. Un integrale con Parseval

Usa il teorema di Parseval per calcolare $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\text{sinc}^2(t)\,dt$ .

Risultato: $\pi$ .

Soluzione

L’impulso $\text{rect}_2$ (1 per $|t| \lt 1$ ) ha trasformata $2\,\text{sinc}(\omega)$ . Parseval:

$\int|\text{rect}_2|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int 4\,\text{sinc}^2(\omega)\,d\omega$

Il primo membro vale 2 (la durata). Quindi $\int\text{sinc}^2(\omega)\,d\omega = 2\cdot\frac{2\pi}{4} = \pi$ .

Un integrale difficile nel tempo diventa banale in frequenza. Con la stessa idea, usando la trasformata stessa invece di Parseval (area = valore in 0 della trasformata), si trova anche $\int\text{sinc}(t)\,dt = \pi$ .

Il quadrato della sinc — L’area sotto la curva, colorata, vale pi greco; quasi tutta è concentrata nel lobo centrale tra meno pi greco e pi greco.

Esercizio 8. La derivata in frequenza

Calcola la trasformata di $f(t) = t\,e^{-at}u(t)$ usando la proprietà $\mathcal F\{t\,g(t)\} = iG'(\omega)$ .

Risultato: $\dfrac{1}{(a + i\omega)^2}$ .

Soluzione

Con $g = e^{-at}u(t)$ , $G = \frac{1}{a + i\omega}$ e $G'(\omega) = -\frac{i}{(a + i\omega)^2}$ . Quindi $F = i\cdot\left(-\frac{i}{(a + i\omega)^2}\right) = \frac{1}{(a + i\omega)^2}$ .

Modulo: $\frac{1}{a^2 + \omega^2}$ , che decresce come $1/\omega^2$ : il segnale è continuo in 0 (vale 0 da entrambi i lati), ma la derivata salta da 0 a 1. È esattamente la regola sul decadimento dell’approfondimento.

Il segnale t per e alla meno t e il modulo della sua trasformata — A sinistra il segnale, che parte da zero senza salti, sale fino al massimo in t uguale a 1 e decresce; a destra il modulo della trasformata, che decresce come 1 su omega quadro.

Livello esame

Esercizio 9. Un impulso attraverso un filtro RC

Un impulso rettangolare di ampiezza 1 e durata $T = 2$ entra in un filtro RC con $\tau = RC = 0{,}5$ . Calcola l’uscita nel tempo con la convoluzione e spiega il risultato in frequenza.

Risultato: $y(t) = 1 - e^{-t/\tau}$ per $0 \lt t \lt T$ , $y(t) = (1 - e^{-T/\tau})e^{-(t - T)/\tau}$ per $t \gt T$ ; $y(T) = 0{,}982$ .

Soluzione

Risposta impulsiva $h(t) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$ . L’uscita è $y(t) = \int_0^{\min(t, T)}\frac{1}{\tau}e^{-(t - s)/\tau}ds$ .

Per $0 \lt t \lt T$ : $y = e^{-t/\tau}\left[e^{s/\tau}\right]_0^t = 1 - e^{-t/\tau}$ . Per $t \gt T$ : $y = e^{-t/\tau}(e^{T/\tau} - 1) = (1 - e^{-T/\tau})e^{-(t - T)/\tau}$ . Alla fine dell’impulso $y(T) = 1 - e^{-4} = 0{,}982$ .

In frequenza. $Y(\omega) = \frac{2\,\text{sinc}(\omega)e^{-i\omega}}{1 + i\omega\tau}$ . Il filtro attenua le componenti oltre $1/\tau = 2$ rad/s: sono quelle che formano i fronti ripidi, che infatti diventano esponenziali. Il lobo principale dello spettro dell’impulso (fino a $\pi$ rad/s) passa quasi tutto, e l’uscita arriva vicino al livello 1. Con $\tau$ molto più grande di $T$ l’uscita resterebbe piccola: il filtro “non farebbe in tempo” a seguire l’impulso.

Risposta di un filtro RC a un impulso rettangolare — L’impulso d’ingresso, tratteggiato, e l’uscita, in blu, che sale con andamento esponenziale durante l’impulso e poi si scarica.

Esercizio 10. Quanta energia sta nella banda

Per il segnale $f(t) = e^{-at}u(t)$ , che frazione dell’energia sta nella banda $|\omega| \lt a$ ?

Risultato: 50 %.

Soluzione

Energia totale nel tempo: $\int_0^\infty e^{-2at}dt = \frac{1}{2a}$ .

In frequenza, $|F|^2 = \frac{1}{a^2 + \omega^2}$ , e l’energia nella banda è

$\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}\frac{d\omega}{a^2 + \omega^2} = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2}{a}\arctan 1 = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{1}{4a}$

Frazione: $\frac{1/(4a)}{1/(2a)} = 50$ %. Per contenere il 90 % servirebbe $|\omega| \lt a\tan(0{,}45\pi) = 6{,}3\,a$ : le code lente della lorentziana rendono larga la banda di un segnale con un salto.

Densità spettrale di energia dell'esponenziale unilatero — La curva è il modulo quadro della trasformata; l’area colorata, tra meno a e a, è metà dell’area totale.

Esercizio 11. L’aliasing

Un segnale $\cos(2\pi\cdot 3000\,t)$ viene campionato a 5 kHz. Che frequenza “vede” il processore? E se si campionasse a 8 kHz?

Risultato: 2 kHz a 5 kHz di campionamento; 3 kHz (corretto) a 8 kHz.

Soluzione

Con $f_c = 5$ kHz il limite di Nyquist è 2,5 kHz, e 3 kHz lo supera. I campioni sono $\cos(2\pi\cdot 3000\cdot n/5000) = \cos(1{,}2\pi n)$ . Poiché $\cos(1{,}2\pi n) = \cos(2\pi n - 0{,}8\pi n) = \cos(0{,}8\pi n)$ , sono identici a quelli di un coseno a $0{,}8\pi\cdot 5000/(2\pi) = 2000$ Hz.

In generale la frequenza apparente è la distanza dal multiplo più vicino di $f_c$ : $|3 - 5| = 2$ kHz. Il processore non ha alcun modo di distinguerle: l’informazione è persa al momento del campionamento.

A 8 kHz il limite è 4 kHz e il segnale a 3 kHz è rappresentato correttamente.

Aliasing di un coseno a 3 kHz campionato a 5 kHz — La curva blu è il coseno a 3 kHz, quella rossa tratteggiata un coseno a 2 kHz: i punti neri, i campioni presi ogni 0,2 ms, stanno su entrambe.

Esercizio 12. Il principio di indeterminazione per la gaussiana

Per $f(t) = e^{-t^2/(2\sigma^2)}$ , calcola la durata $\Delta t$ e la banda $\Delta\omega$ definite come nell’approfondimento, e verifica che il prodotto vale $\frac{1}{2}$ .

Risultato: $\Delta t = \frac{\sigma}{\sqrt 2}$ , $\Delta\omega = \frac{1}{\sigma\sqrt 2}$ , prodotto $\frac{1}{2}$ .

Soluzione

$|f|^2 = e^{-t^2/\sigma^2}$ è una gaussiana con varianza $\frac{\sigma^2}{2}$ (si confronta con $e^{-t^2/(2s^2)}$ : $s^2 = \sigma^2/2$ ). La media pesata di $t^2$ è la varianza: $\Delta t^2 = \frac{\sigma^2}{2}$ .

In frequenza $|F|^2 \propto e^{-\sigma^2\omega^2}$ , gaussiana con varianza $\frac{1}{2\sigma^2}$ : $\Delta\omega^2 = \frac{1}{2\sigma^2}$ .

Prodotto: $\Delta t\,\Delta\omega = \frac{\sigma}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sigma\sqrt 2} = \frac{1}{2}$ , il minimo possibile. Nessun altro segnale è altrettanto concentrato nel tempo e in frequenza: per questo gli impulsi gaussiani si usano nei radar e nelle comunicazioni (modulazione GMSK del GSM, Bluetooth).

Gaussiane e loro trasformate — Restringere la gaussiana nel tempo la allarga in frequenza, e il prodotto delle due larghezze resta costante.

1 commento

Vecchi

Più recenti Le più votate

Autore

ielettronica

18 ore fa

Sono l'autore di questa pagina su «Esercizi sulla trasformata di Fourier svolti, con i grafici». Se qualcosa non è chiaro, se vi serve un esempio in più o volete approfondire un punto, scrivetelo qui sotto nei commenti: rispondo personalmente. Se la pagina vi è stata utile, lasciate un voto con le stelle in cima all'articolo.I am the author of this page on “Solved Fourier transform exercises, with graphs”. If something is unclear, if you need another example or want to go deeper into a point, write it in the comments below: I answer personally. If the page was useful, leave a star rating at the top of the article.

Rispondi

Cookie	Duration	Description
cookielawinfo-checkbox-analytics	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Analytics".
cookielawinfo-checkbox-functional	11 months	The cookie is set by GDPR cookie consent to record the user consent for the cookies in the category "Functional".
cookielawinfo-checkbox-necessary	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookies is used to store the user consent for the cookies in the category "Necessary".
cookielawinfo-checkbox-others	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Other.
cookielawinfo-checkbox-performance	11 months	This cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Performance".
viewed_cookie_policy	11 months	The cookie is set by the GDPR Cookie Consent plugin and is used to store whether or not user has consented to the use of cookies. It does not store any personal data.

Livello base

Esercizio 1. L’esponenziale bilatero

Esercizio 2. L’esponenziale unilatero: modulo e fase

Esercizio 3. Un impulso ritardato

Esercizio 4. Il triangolo come convoluzione

Livello medio

Esercizio 5. La modulazione d’ampiezza

Esercizio 6. La dualità

Esercizio 7. Un integrale con Parseval

Esercizio 8. La derivata in frequenza

Livello esame

Esercizio 9. Un impulso attraverso un filtro RC

Esercizio 10. Quanta energia sta nella banda

Esercizio 11. L’aliasing

Esercizio 12. Il principio di indeterminazione per la gaussiana

Articoli correlati

Esercizi sugli integrali svolti, dal livello base all’esame

Esercizi sui limiti svolti, dal livello base all’esame

Trasformata di Fourier, approfondimento: gaussiana, Parseval, decadimento dello spettro, indeterminazione e campionamento

Esercizi sullo studio di funzione svolti, con i grafici

Esercizi sulla trasformata di Laplace svolti: equazioni differenziali, circuiti e sistemi

Esercizi sul teorema dei residui svolti: integrali reali calcolati nel piano complesso