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Metodi Matematici

La trasformata di Fourier: spettro, convoluzione e campionamento

Dalla serie alla trasformata, impulso rettangolare e sinc, proprietà, convoluzione e risposta in frequenza con dimostrazione, Parseval, dualità e teorema del campionamento.

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La serie di Fourier di Analisi 2 scompone un segnale periodico in armoniche a frequenze discrete. Ma la maggior parte dei segnali reali non è periodica: un impulso, una parola, un pacchetto di dati. La trasformata di Fourier estende la serie a qualunque segnale, sostituendo la somma su frequenze discrete con un integrale su tutte le frequenze. È lo strumento con cui si pensa la banda di un canale, si progettano filtri e si analizzano le modulazioni.

Dalla serie alla trasformata

Per un segnale di periodo T, la serie in forma complessa è f(t) = \sum c_k e^{ik\omega_0 t}, con \omega_0 = 2\pi/T e c_k = \frac1T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-ik\omega_0 t}dt. Facendo tendere T\to\infty, le frequenze k\omega_0 diventano sempre più fitte, la somma diventa un integrale e si ottiene la coppia

    \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,\qquad f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega \]

F(\omega) è lo spettro del segnale: il modulo dice quanta “ampiezza” c’è a ogni frequenza, la fase come sono allineate le componenti. La trasformata esiste certamente se f è assolutamente integrabile, \int|f|dt \lt \infty. Alcuni testi usano la frequenza f in hertz invece della pulsazione \omega: cambiano solo i fattori 2\pi.

L’esempio fondamentale: l’impulso rettangolare

Sia f(t) = 1 per |t| \lt T/2 e 0 altrove.

    \[ F(\omega) = \int_{-T/2}^{T/2}e^{-i\omega t}\,dt = \frac{e^{i\omega T/2} - e^{-i\omega T/2}}{i\omega} = T\,\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2} \]

la funzione sinc.

Impulso rettangolare di durata T e la sua trasformata di Fourier, la funzione sinc
A sinistra un impulso di durata T; a destra il suo spettro, una sinc di altezza T con il primo zero a 2π/T. Più l’impulso è breve, più lo spettro è largo.

Il primo zero dello spettro è a \omega = 2\pi/T, cioè alla frequenza 1/T. Un impulso di 1 µs occupa una banda dell’ordine di 1 MHz; uno di 1 ns, di 1 GHz. È il principio di indeterminazione dei segnali: non si può avere un segnale breve nel tempo e stretto in frequenza. Precisamente, il prodotto della durata per la banda (misurate come deviazioni standard) è almeno \tfrac12. È per questo che trasmettere più bit al secondo richiede più banda.

Le proprietà

ProprietàTempoFrequenza
linearitàa f + b ga F + b G
ritardof(t - t_0)e^{-i\omega t_0}F(\omega)
modulazionee^{i\omega_0 t}f(t)F(\omega - \omega_0)
cambio di scalaf(at)\frac{1}{|a|}F(\omega/a)
derivataf'(t)i\omega F(\omega)
convoluzione(f * g)(t)F(\omega)\,G(\omega)
prodottof(t)\,g(t)\frac{1}{2\pi}(F * G)(\omega)

Alcune letture:

  • un ritardo non cambia il modulo dello spettro, solo la fase, che diventa lineare in \omega;
  • la modulazione sposta lo spettro alla frequenza della portante: è il principio di ogni radio, che “trasla” il segnale audio attorno a una frequenza alta per trasmetterlo;
  • la derivata diventa una moltiplicazione per i\omega: le equazioni differenziali lineari diventano algebriche, come con i fasori;
  • comprimere un segnale nel tempo lo allarga in frequenza: riprodurre un nastro a velocità doppia alza tutte le frequenze di un’ottava.

La convoluzione

La convoluzione di due segnali è

    \[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau \]

Per un sistema lineare e tempo invariante (un filtro, un amplificatore, un canale di trasmissione), l’uscita è la convoluzione dell’ingresso con la risposta impulsiva h(t): y = x * h. Nel dominio della frequenza la convoluzione diventa un prodotto:

    \[ Y(\omega) = H(\omega)\,X(\omega) \]

Dimostrazione

    \[ \int\left(\int f(\tau)g(t - \tau)d\tau\right)e^{-i\omega t}dt = \int f(\tau)e^{-i\omega\tau}\left(\int g(t - \tau)e^{-i\omega(t - \tau)}dt\right)d\tau = F(\omega)\,G(\omega) \]

scambiando l’ordine di integrazione e ponendo s = t - \tau nell’integrale interno.

H(\omega) è la risposta in frequenza del sistema: dice di quanto amplifica e sfasa ogni frequenza. È il motivo per cui i filtri si progettano in frequenza: un passa basso ideale ha H = 1 fino alla frequenza di taglio e 0 oltre.

Parseval e l’energia

    \[ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,d\omega \]

L’energia del segnale si può calcolare nel tempo o in frequenza. |F(\omega)|^2 è la densità spettrale di energia, ed è ciò che mostra un analizzatore di spettro.

La dualità

Le due formule della coppia sono quasi identiche: cambiano solo il segno dell’esponente e il fattore 2\pi. Ne segue che se f(t) ha trasformata F(\omega), il segnale F(t) ha trasformata 2\pi f(-\omega). Così, se l’impulso rettangolare ha spettro sinc, un segnale sinc nel tempo ha spettro rettangolare: è il segnale a banda perfettamente limitata, base del teorema del campionamento.

Il teorema del campionamento

Se un segnale non contiene frequenze sopra f_{max}, lo si può ricostruire esattamente dai suoi campioni presi a frequenza

    \[ f_c \gt 2f_{max} \]

(teorema di Nyquist-Shannon). Campionando si creano copie dello spettro attorno a ogni multiplo di f_c; se f_c \gt 2f_{max} le copie non si sovrappongono e un filtro passa basso recupera l’originale. Se invece si sovrappongono si ha aliasing: frequenze alte si travestono da basse, ed è irrecuperabile. È per questo che l’audio dei CD è campionato a 44,1 kHz (l’udito arriva a circa 20 kHz) e che prima di ogni convertitore analogico digitale c’è un filtro anti-aliasing.

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