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Metodi Matematici

La trasformata di Laplace: proprietà, antitrasformata e stabilità

Definizione e convergenza, tabella delle trasformate, proprietà con dimostrazione della regola della derivata, valore iniziale e finale, fratti semplici e piano s.

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La trasformata di Fourier non esiste per segnali che crescono, come e^{t}, e non tiene conto in modo naturale delle condizioni iniziali. La trasformata di Laplace risolve entrambi i problemi moltiplicando il segnale per un esponenziale che lo smorza. È lo strumento standard per i circuiti in regime transitorio e per i controlli automatici: trasforma le equazioni differenziali in equazioni algebriche e porta direttamente al concetto di funzione di trasferimento.

La definizione

Per un segnale f(t) nullo per t \lt 0 (come tutti i segnali “accesi” a un certo istante):

    \[ F(s) = \mathcal L\{f\}(s) = \int_0^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt,\qquad s = \sigma + i\omega \]

Con s = i\omega si ritrova la trasformata di Fourier. La parte reale \sigma aggiunge un fattore e^{-\sigma t} che smorza il segnale e fa convergere l’integrale anche per funzioni che crescono esponenzialmente. L’integrale converge nel semipiano \operatorname{Re}s \gt \sigma_0, dove \sigma_0 è l’ascissa di convergenza.

Le trasformate fondamentali

Esponenziale. \mathcal L\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{-(s - a)t}dt = \frac{1}{s - a}, per \operatorname{Re}s \gt a. Tutte le altre righe della tabella si ricavano da questa.

f(t), per t \ge 0F(s)
\delta(t)1
u(t) (gradino)\dfrac1s
t^n\dfrac{n!}{s^{n+1}}
e^{at}\dfrac{1}{s - a}
\sin\omega t\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}
\cos\omega t\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}
e^{-at}\sin\omega t\dfrac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}
e^{-at}\cos\omega t\dfrac{s + a}{(s + a)^2 + \omega^2}

Il seno e il coseno vengono da \cos\omega t = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}: \frac12\left(\frac{1}{s - i\omega} + \frac{1}{s + i\omega}\right) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}.

Le proprietà

  • Linearità.
  • Traslazione in frequenza: \mathcal L\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a). Moltiplicare per un esponenziale sposta la trasformata.
  • Ritardo: \mathcal L\{f(t - T)u(t - T)\} = e^{-sT}F(s).
  • Derivata: \mathcal L\{f'\} = sF(s) - f(0), e \mathcal L\{f''\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0).
  • Integrale: \mathcal L\{\int_0^t f\} = \frac{F(s)}{s}.
  • Convoluzione: \mathcal L\{f * g\} = F(s)\,G(s).

Dimostrazione della regola della derivata

Integrando per parti:

    \[ \int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt = \Big[f(t)e^{-st}\Big]_0^\infty + s\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt = -f(0) + sF(s) \]

perché nel semipiano di convergenza f(t)e^{-st}\to 0. È la proprietà chiave: la derivata diventa una moltiplicazione per s, e le condizioni iniziali entrano da sole nell’equazione. Con Fourier si aveva i\omega; qui si ha s, e in più il termine f(0).

I teoremi del valore iniziale e finale

    \[ f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s),\qquad \lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\to 0}sF(s) \]

Il secondo vale solo se il limite esiste davvero, cioè se tutti i poli di sF(s) hanno parte reale negativa. Permettono di conoscere l’inizio e la fine di una risposta senza antitrasformare: per esempio il valore a regime dell’uscita di un sistema dopo un gradino.

L’antitrasformata con i fratti semplici

Nei problemi pratici F(s) è quasi sempre una funzione razionale \frac{N(s)}{D(s)}. Si scompone in fratti semplici, e ogni fratto si antitrasforma con la tabella.

Esempio.

    \[ F(s) = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2} \]

A = \left.\frac{s + 3}{s + 2}\right|_{s = -1} = 2, B = \left.\frac{s + 3}{s + 1}\right|_{s = -2} = -1. Quindi f(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}.

Il calcolo di A e B è esattamente il calcolo dei residui della lezione sul teorema dei residui: in generale l’antitrasformata è la somma dei residui di F(s)e^{st} nei poli di F. Una coppia di poli complessi coniugati -a\pm i\omega produce un’oscillazione smorzata e^{-at}\cos(\omega t + \varphi).

Il piano s e la stabilità

Ogni polo p = \sigma + i\omega di F(s) contribuisce alla risposta nel tempo con un termine e^{pt} = e^{\sigma t}e^{i\omega t}. La posizione del polo nel piano complesso dice quindi tutto sul comportamento di quel termine.

Il piano s con poli in varie posizioni e la forma della risposta nel tempo corrispondente
Poli nel semipiano sinistro (verde) danno risposte che si smorzano: esponenziali se reali, oscillazioni smorzate se complessi. Poli sull’asse immaginario danno oscillazioni persistenti. Poli nel semipiano destro (rosso) danno risposte che crescono: il sistema è instabile.
  • Parte reale negativa: il termine si smorza. Più il polo è a sinistra, più è rapido.
  • Parte reale positiva: il termine cresce esponenzialmente. Il sistema è instabile.
  • Sull’asse immaginario: oscillazione di ampiezza costante (o crescita lineare se il polo è doppio).
  • La parte immaginaria dà la frequenza di oscillazione.

Un sistema lineare è stabile se e solo se tutti i poli della sua funzione di trasferimento hanno parte reale negativa. È la regola d’oro dei controlli automatici: progettare un controllore vuol dire spostare i poli del sistema nella zona giusta del piano s.

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