Vai al contenuto
Analisi Matematica 1

Integrali impropri: definizione, integrali campione e criteri di convergenza

Integrali su intervalli illimitati e di funzioni illimitate, gli integrali di riferimento, confronto e confronto asintotico, criterio dell'integrale per le serie.

2 min di lettura 0 commenti

L’integrale definito è nato per intervalli chiusi e limitati e funzioni limitate. Molti integrali utili non rispettano queste condizioni: l’energia di un segnale che dura per sempre, \int_0^{+\infty} e^{-t}dt, o l’area sotto \frac{1}{\sqrt x} vicino a 0. Gli integrali impropri li definiscono come limiti e permettono di capire quando hanno un valore finito.

Due tipi di integrale improprio

Intervallo illimitato. \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{M\to+\infty}\int_a^M f(x)\,dx.

Funzione illimitata vicino a un estremo. Se f esplode in a: \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.

Se il limite è finito l’integrale converge, se è infinito diverge, altrimenti non esiste. Se i problemi sono più d’uno (per esempio su tutto \mathbb R), si spezza l’integrale in modo che ogni pezzo ne abbia uno solo, e l’integrale converge se convergono tutti i pezzi.

Gli integrali campione

Tutto si basa su due risultati, che si verificano calcolando la primitiva \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} (oppure \ln x per \alpha = 1):

    \[ \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha} \ \text{converge} \iff \alpha > 1, \qquad \int_0^{1}\frac{dx}{x^\alpha} \ \text{converge} \iff \alpha < 1. \]

Il caso \alpha = 1 diverge in entrambi: \int_1^M\frac{dx}{x} = \ln M \to \infty. Esempi: \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2} = 1, \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x} = 2. Per l’esponenziale: \int_0^{+\infty} e^{-ax}dx = \frac1a per a > 0.

Criteri di convergenza

Spesso la primitiva non si sa calcolare, ma si vuole sapere se l’integrale converge. Per funzioni positive:

  • Confronto: se 0 \le f \le g e \int g converge, converge anche \int f; se \int f diverge, diverge anche \int g.
  • Confronto asintotico: se f \sim g (il rapporto tende a un numero positivo), i due integrali hanno lo stesso carattere. È il criterio più usato: si sostituisce la funzione con la potenza che la approssima.
  • Assoluta convergenza: se \int |f| converge, converge anche \int f.

Esempi.

  • \int_1^{+\infty}\frac{x + 1}{x^3 + 2}\,dx: all’infinito la funzione è \sim \frac{1}{x^2}, converge.
  • \int_0^1\frac{dx}{\sin x}: vicino a 0 \sin x \sim x, quindi si comporta come \int_0^1\frac{dx}{x}, diverge.
  • \int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}\,dx: \left|\frac{\sin x}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2}, converge assolutamente.
  • \int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx: per x \ge 1 si ha e^{-x^2} \le e^{-x}, converge. Il suo valore è \frac{\sqrt\pi}{2}, un risultato che si dimostra in Analisi 2 e che regge tutta la statistica della distribuzione normale.

Collegamento con le serie

Il criterio dell’integrale: se f è positiva e decrescente, la serie \sum f(n) e l’integrale \int_1^{+\infty} f(x)\,dx convergono o divergono insieme. Da qui il carattere della serie armonica generalizzata \sum\frac{1}{n^\alpha}, che converge solo per \alpha > 1.

Perché interessa all’ingegnere

L’energia di un segnale è \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt: un impulso esponenziale e^{-t/\tau} per t \ge 0 ha energia \frac{\tau}{2}, finita. La trasformata di Fourier e quella di Laplace sono integrali impropri, e la loro esistenza dipende proprio da questi criteri: \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt converge quando l’esponenziale decrescente “vince” sulla crescita di f.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x