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Analisi Matematica 1

Serie numeriche: convergenza, criteri e serie a segni alterni

Somme parziali, serie geometrica, armonica e telescopiche, condizione necessaria, criteri del confronto, rapporto, radice e integrale, Leibniz e convergenza assoluta.

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Sommare infiniti numeri sembra un’operazione senza senso, eppure a volte il risultato è un numero finito e ben preciso: \frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = 1. Le serie numeriche studiano quando succede. Sono la base delle serie di Taylor e di Fourier, e quindi di gran parte della teoria dei segnali.

Definizione

Data una successione a_n, la serie \sum_{n=1}^{\infty} a_n è il limite delle somme parziali S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N. Se il limite è finito la serie converge, se è infinito diverge, se non esiste è indeterminata.

Le serie di riferimento

  • Geometrica \sum r^n: converge se e solo se |r| < 1, a \frac{1}{1-r} partendo da n = 0 (dimostrazione nell’approfondimento).
  • Armonica generalizzata \sum \frac{1}{n^\alpha}: converge se e solo se \alpha > 1. L’armonica \sum\frac1n diverge, anche se molto lentamente: servono più di 10^{43} termini per superare 100.
  • Telescopica: \sum\frac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\frac1n - \frac{1}{n+1}\right). Le somme parziali valgono 1 - \frac{1}{N+1}, quindi la serie converge a 1.

Condizione necessaria

Se \sum a_n converge, allora a_n \to 0. È solo necessaria: l’armonica ha termini che tendono a 0 ma diverge. In pratica si usa al contrario: se a_n non tende a 0, la serie non converge. Per esempio \sum\frac{n}{n+1} diverge subito.

Criteri per serie a termini positivi

CriterioEnunciatoQuando usarlo
Confronto0 \le a_n \le b_n: se \sum b_n converge converge anche \sum a_nmaggiorazioni semplici
Confronto asintoticose a_n \sim b_n, stesso caratterefrazioni di polinomi, radici
Rapporto\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \ell: converge se \ell < 1, diverge se \ell > 1fattoriali, potenze a^n
Radice\sqrt[n]{a_n} \to \ell: converge se \ell < 1, diverge se \ell > 1termini del tipo (\dots)^n
Integralea_n = f(n), f positiva decrescente: stesso carattere di \int_1^\infty flogaritmi, casi limite

Se il rapporto o la radice danno \ell = 1 il criterio non decide: succede con tutte le serie del tipo \sum\frac{1}{n^\alpha}, e lì serve il confronto.

Esempi.

  • \sum\frac{n+1}{n^3 + 2}: \sim\frac{1}{n^2}, converge.
  • \sum\frac{2^n}{n!}: rapporto \frac{2}{n+1} \to 0, converge (a e^2 - 1).
  • \sum\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n: radice \frac{n}{2n+1} \to \frac12, converge.
  • \sum\sin\frac1n: \sim\frac1n, diverge.
  • \sum\frac{1}{n\ln n} (da n = 2): con il criterio dell’integrale, \int\frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x) \to \infty, diverge.

Serie a segni alterni e convergenza assoluta

Criterio di Leibniz: se b_n è positiva, decrescente e tende a 0, la serie \sum (-1)^n b_n converge, e l’errore commesso fermandosi a N termini è minore del primo termine trascurato. Così 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots converge (a \ln 2), anche se la serie dei valori assoluti, l’armonica, diverge.

Una serie è assolutamente convergente se converge \sum |a_n|, e allora converge anche \sum a_n. La differenza conta: le serie assolutamente convergenti si possono riordinare senza cambiare la somma, quelle che convergono solo semplicemente no.

Verso le serie di funzioni

Le serie diventano davvero utili quando i termini dipendono da x. Lo sviluppo di Taylor portato all’infinito dà, per esempio, e^x = \sum\frac{x^n}{n!} per ogni x. La serie di Fourier scrive un segnale periodico come somma di sinusoidi: l’onda quadra di ampiezza 1 è \frac4\pi\left(\sin\omega t + \frac13\sin3\omega t + \frac15\sin5\omega t + \dots\right). I coefficienti \frac1n decrescono lentamente, ed è per questo che un’onda quadra contiene armoniche fino a frequenze molto alte e serve tanta banda per trasmetterla senza deformarla.

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