Dimostrazione della convergenza di una serie geometrica

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25 December 2024 0 Comments

MATH ANALYSIS 1

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Dimostrazione della convergenza di una serie geometrica

Vogliamo dimostrare che, per |r| < 1, la serie geometrica converge a:

    \[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}. \]

Ipotesi

1. La serie geometrica è definita come:

    \[ S = \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots \]

dove |r| < 1.

2. Per dimostrare la convergenza, consideriamo la somma parziale S_N:

    \[ S_N = \sum_{n=0}^N ar^n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^N. \]

Dimostrazione

Per la somma parziale S_N, possiamo raccogliere il fattore comune a:

    \[ S_N = a(1 + r + r^2 + \dots + r^N). \]

Utilizziamo la formula per la somma di una progressione geometrica finita:

    \[ 1 + r + r^2 + \dots + r^N = \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}, \quad \text{per } r \neq 1. \]

Sostituendo nella somma parziale, otteniamo:

    \[ S_N = a \cdot \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}. \]

Passiamo al limite per N \to \infty. Dato che |r| < 1, abbiamo r^{N+1} \to 0. Pertanto:

    \[ \lim_{N \to \infty} S_N = a \cdot \frac{1 - 0}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}. \]

Conclusione

Abbiamo dimostrato che, per |r| < 1, la serie geometrica converge a:

    \[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}. \]

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