Dimostrazione della derivata del prodotto di due funzioni

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25 December 2024 0 Comments

MATH ANALYSIS 1

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Dimostrazione della derivata del prodotto di due funzioni

Vogliamo dimostrare la regola del prodotto per le derivate, cioè:

    \[ (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]

Ipotesi

1. Le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un punto x, quindi le loro derivate f'(x) e g'(x) esistono.
2. La derivata di un prodotto è definita come:

    \[ (f \cdot g)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}. \]

Dimostrazione

Partendo dalla definizione di derivata, abbiamo:

    \[ (f \cdot g)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}. \]

Espandiamo il numeratore:

    \[ f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = \big(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h)\big) + \big(f(x)g(x+h) - f(x)g(x)\big). \]

Raccogliamo i termini separatamente:

    \[ = g(x+h)\big(f(x+h) - f(x)\big) + f(x)\big(g(x+h) - g(x)\big). \]

Dividiamo ciascun termine per h:

    \[ \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = g(x+h) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + f(x) \frac{g(x+h) - g(x)}{h}. \]

Passando al limite per h \to 0:
1. Il primo termine diventa:

    \[ \lim_{h \to 0} g(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = g(x)f'(x), \]

poiché g(x+h) \to g(x) e \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \to f'(x).

2. Il secondo termine diventa:

    \[ \lim_{h \to 0} f(x) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = f(x)g'(x). \]

Sommandoli, otteniamo:

    \[ (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]

Conclusione

Abbiamo dimostrato la regola del prodotto:

    \[ (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]

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