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Analisi Matematica 1

Limite di una funzione composta: teorema, dimostrazione e cambio di variabile

Quando si può portare il limite dentro una funzione: enunciato, dimostrazione con epsilon e delta, un controesempio, il cambio di variabile ed esempi svolti.

Aggiornato il 19 ottobre 2026 3 min di lettura 0 commenti

Quando si calcola un limite come \lim_{x\to 0} \sqrt{1+\sin x} viene naturale “portare il limite dentro”: prima si calcola il limite di 1 + \sin x, che è 1, poi si applica la radice. Questo passaggio si fa decine di volte in ogni esercizio, ma non è sempre lecito. Il teorema sul limite della funzione composta dice esattamente quando lo è.

L’enunciato

Siano g definita in un intorno di c (escluso al più c) e f definita in un intorno di L. Se

  • \displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = L, e
  • f è continua in L,

allora

    \[ \lim_{x \to c} f\big(g(x)\big) = f(L) = f\Big(\lim_{x \to c} g(x)\Big). \]

In parole: una funzione continua “commuta” con il limite.

La dimostrazione con epsilon e delta

Fissiamo \varepsilon > 0. Dobbiamo trovare un \delta > 0 tale che 0 < |x - c| < \delta implichi |f(g(x)) - f(L)| < \varepsilon. Lo costruiamo in due passi, partendo dalla fine.

  1. Continuità di f in L. Esiste \eta > 0 tale che |y - L| < \eta \Rightarrow |f(y) - f(L)| < \varepsilon. Quindi basta che g(x) cada a distanza minore di \eta da L.
  2. Limite di g. Usiamo la definizione di limite con \eta al posto di epsilon: esiste \delta > 0 tale che 0 < |x - c| < \delta \Rightarrow |g(x) - L| < \eta.

Mettendo insieme: se 0 < |x - c| < \delta, allora |g(x) - L| < \eta, e quindi |f(g(x)) - f(L)| < \varepsilon. Per l’arbitrarietà di \varepsilon il limite vale f(L). ∎

Il punto chiave è che il \delta di g si sceglie dopo aver ricevuto l’\eta di f: le due definizioni si incastrano come due ingranaggi.

Perché serve la continuità: un controesempio

Se f ha solo limite in L, senza essere continua lì, il risultato può essere falso. Prendiamo

    \[ g(x) = 0 \ \text{per ogni } x, \qquad f(y) = \begin{cases} 1 & y = 0 \\ 0 & y \neq 0 \end{cases} \]

Abbiamo \lim_{x\to 0} g(x) = 0 e \lim_{y \to 0} f(y) = 0. Ma f(g(x)) = f(0) = 1 per ogni x, quindi \lim_{x \to 0} f(g(x)) = 1, non 0. Il problema è che g “atterra” esattamente nel punto in cui f salta.

Esiste anche una versione del teorema senza continuità: se \lim_{y\to L} f(y) = M e g(x) \neq L in un intorno di c (escluso c), allora \lim_{x\to c} f(g(x)) = M. È la base del cambio di variabile nei limiti.

Come si usa negli esercizi

Esempio 1. \displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{\sin x}{x}}. L’esponente tende a 1 (limite notevole) e l’esponenziale è continua, quindi il limite vale e^1 = e.

Esempio 2 (cambio di variabile). \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}. Poniamo t = 3x: per x \to 0 anche t \to 0 e t \neq 0 se x \neq 0. Il limite diventa \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = 1.

Esempio 3. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(\frac{2x+1}{x}\right). L’argomento tende a 2, il logaritmo è continuo in 2, quindi il limite è \ln 2.

Quasi tutte le funzioni che si incontrano (polinomi, esponenziali, logaritmi, seno e coseno, radici) sono continue nel loro dominio, ed è per questo che “portare il limite dentro” funziona così spesso. Gli errori nascono quando l’argomento tende a un punto fuori dal dominio (il logaritmo di qualcosa che tende a 0) o a un punto di discontinuità, come la parte intera di un numero che tende a un intero.

Lo stesso teorema con le successioni

La continuità si può anche caratterizzare con le successioni: f è continua in L se e solo se per ogni successione y_n \to L si ha f(y_n) \to f(L). Da qui lo stesso risultato: se a_n \to L e f è continua in L, allora f(a_n) \to f(L). È il motivo per cui, per esempio, \sqrt{1 + 1/n} \to 1.

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