Dimostrazione del limite di una funzione composta

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25 December 2024 0 Comments

MATH ANALYSIS 1

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Dimostrazione del limite di una funzione composta

Dimostriamo che, se g(x) \to L quando x \to c e f è continua in L, allora:

    \[ \lim_{x \to c} f(g(x)) = f\left( \lim_{x \to c} g(x) \right). \]

Ipotesi

1. La funzione g(x) ha limite L quando x \to c, ossia:

    \[ \lim_{x \to c} g(x) = L. \]

2. La funzione f è continua in L, ossia:

    \[ \lim_{x \to L} f(x) = f(L). \]

Dimostrazione

Sia \varepsilon > 0. Per la continuità di f, esiste un \delta_2 > 0 tale che:

    \[ |g(x) - L| < \delta_2 \implies |f(g(x)) - f(L)| < \varepsilon. \]

Inoltre, dato che \lim_{x \to c} g(x) = L, esiste un \delta_1 > 0 tale che:

    \[ |x - c| < \delta_1 \implies |g(x) - L| < \delta_2. \]

Unendo queste due condizioni, otteniamo che:

    \[ |x - c| < \delta_1 \implies |f(g(x)) - f(L)| < \varepsilon. \]

Quindi, per ogni \varepsilon > 0, possiamo scegliere \delta = \delta_1 tale che:

    \[ |x - c| < \delta \implies |f(g(x)) - f(L)| < \varepsilon. \]

Per definizione di limite, ciò dimostra che:

    \[ \lim_{x \to c} f(g(x)) = f(L). \]

Conclusione

Abbiamo dimostrato che, se g(x) \to L quando x \to c e f è continua in L, allora:

    \[ \lim_{x \to c} f(g(x)) = f\left( \lim_{x \to c} g(x) \right). \]

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