Il limite notevole di sin x / x: dimostrazione geometrica e conseguenze
Perché sin x / x tende a 1 per x che tende a 0: dimostrazione con le aree sul cerchio e teorema del confronto, perché non si usa de l'Hôpital, limiti derivati e la funzione sinc.
Il limite
![\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88b3bbecd4d3f0e95e1f430361765aef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è il primo dei cosiddetti limiti notevoli e non è un risultato da imparare a memoria e basta: da lui dipende la derivata del seno, e quindi tutto quello che in elettrotecnica e nei segnali si fa con le sinusoidi. Si presenta nella forma indeterminata 
, quindi non si può semplicemente “sostituire”: bisogna ragionare. La dimostrazione classica è geometrica e usa solo il cerchio di raggio 1 e il teorema del confronto.
Prima un controllo con la calcolatrice
Con 
in radianti:
| x | sin x | sin x / x |
|---|---|---|
| 0,5 | 0,479426 | 0,958851 |
| 0,1 | 0,099833 | 0,998334 |
| 0,01 | 0,0099998 | 0,999983 |
| 0,001 | 0,00099999983 | 0,99999983 |
Il rapporto si avvicina a 1 molto in fretta. Se la calcolatrice fosse impostata in gradi otterremmo invece circa 0,01745, cioè 
: il limite vale 1 solo se l’angolo è misurato in radianti, ed è per questo che in analisi si usano sempre i radianti.
La dimostrazione geometrica
Sia 
. Sul cerchio di raggio 1 con centro O disegniamo l’angolo a partire dal semiasse positivo delle x; chiamiamo A il punto (1, 0) e P il punto del cerchio individuato dall’angolo. Prolunghiamo OP fino a incontrare in T la retta tangente al cerchio in A. Confrontiamo tre aree, una contenuta nell’altra:
- il triangolo OAP, con base 1 e altezza
: area 
; - il settore circolare OAP, che per un angolo in radianti ha area
; - il triangolo OAT, con base 1 e altezza
: area 
.
Poiché il triangolo sta dentro il settore e il settore dentro il triangolo grande:
![\[ \sin x < x < \tan x \qquad \left(0 < x < \tfrac{\pi}{2}\right). \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-65c51629359d7e602c54f2ee5bad09d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dividiamo tutto per , che in questo intervallo è positivo, e poi passiamo ai reciproci (il che inverte le disuguaglianze):
![\[ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \quad\Longrightarrow\quad \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-355f1616fdfda305873f990390169077_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per 
si ha 
(il coseno è continuo), e la costante 1 tende ovviamente a 1. Il rapporto 
è stretto fra due quantità che tendono a 1, quindi per il teorema del confronto (detto anche dei carabinieri) tende anche lui a 1.
Resta il limite da sinistra. La funzione è pari: 
. Quindi per 
si comporta esattamente come per , e il limite bilatero vale 1. ∎
Un dettaglio che i professori amano chiedere
Non si può dimostrare questo limite con il teorema di de l’Hôpital: derivando numeratore e denominatore si ottiene 
, che tende a 1, ma per sapere che la derivata di è 
serve proprio il limite che stiamo cercando di calcolare. Sarebbe un ragionamento circolare. Lo stesso vale per lo sviluppo di Taylor 
, che si ottiene a partire dalle derivate.
Limiti che ne derivano
Una volta noto questo, se ne ricavano facilmente altri che compaiono continuamente negli esercizi:
;
, moltiplicando sopra e sotto per 
e usando 
;
, con la sostituzione 
;
, con la sostituzione 
.
Perché interessa a chi studia elettronica
La funzione ha un nome suo, sinc, ed è ovunque nella teoria dei segnali: è la trasformata di Fourier di un impulso rettangolare, descrive la risposta di un filtro passa-basso ideale e compare nella formula di ricostruzione del teorema del campionamento. Il fatto che in 0 valga 1 (per continuità, grazie a questo limite) è esattamente ciò che fa sì che il lobo principale dello spettro abbia ampiezza pari all’area dell’impulso. Anche l’approssimazione 
per angoli piccoli, usata per il pendolo o per l’ottica parassiale, non è altro che questo limite letto al contrario.