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Dimostrazione del limite
In questo post dimostriamo che:
![\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a27b57c346806dd3f39da92555ad9ce_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1. Geometria del cerchio unitario
Consideriamo il cerchio unitario (raggio = 1) e un angolo 
in radianti. Le relazioni geometriche sono:
- L’arco del cerchio ha lunghezza
, - Il segmento verticale opposto all’angolo è
, - Il segmento della tangente al cerchio ha lunghezza
.
Da qui otteniamo la disuguaglianza:
![\[ \sin(x) < x < \tan(x), \quad \text{per } 0 < x < \frac{\pi}{2}. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ef94aebfe55127a8c15d3a916dc39e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dividendo tutti i termini per , otteniamo:
![\[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)}. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b50dad51a8d32b91a62f1c20cb9f03b5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Invertendo la disuguaglianza:
![\[ \cos(x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75c1b5b56fae74a84f3c451eac4b836d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. Applicazione del teorema del confronto
Quando 
:
![\[ \cos(x) \to 1 \quad \text{e} \quad 1 \to 1. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-77c4528abf06dd9597cec0a54d19f8c4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per il teorema del confronto, segue che:
Conclusione
Abbiamo dimostrato che:
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