Dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass
Il **Teorema di Bolzano-Weierstrass** afferma che:
Ogni successione limitata in 
ha almeno una sottosuccessione convergente.
Ipotesi
1. La successione 
è limitata, cioè esiste 
tale che:
![\[ |x_n| \leq M \quad \text{per ogni } n \in \mathbb{N}. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c6e35434e462f8b46caea4c779ed9b0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. Dobbiamo dimostrare che esiste una sottosuccessione 
tale che:
![\[ \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = L, \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0acf4c0b5736832d3054305407178ae3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
.
Dimostrazione
1. **Costruzione della sottosuccessione**:
Poiché è limitata, l’insieme dei valori è contenuto in un intervallo chiuso e limitato ![[a, b]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb9006f162a732e29ba8df78d5f1d071_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, dove 
e 
.
Per il **Teorema di Heine-Borel**, l’intervallo è compatto. Ogni successione limitata in un insieme compatto ha un punto di accumulazione. Denotiamo uno di questi punti di accumulazione con 
.
2. **Definizione di sottosuccessione**:
Poiché è un punto di accumulazione, per ogni 
, ci sono infiniti termini di che appartengono all’intervallo 
.
Costruiamo la sottosuccessione scegliendo i termini 
tali che:
![\[ x_{n_k} \in (L - \varepsilon, L + \varepsilon) \quad \text{e} \quad n_1 < n_2 < \dots \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa84378311e6faae1be063e6b7f96a10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. **Convergenza della sottosuccessione**:
Poiché ogni termine della sottosuccessione si avvicina arbitrariamente a , abbiamo:
![\[ \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = L. \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f3ad998346301e9242ec690acc78dc76_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Conclusione
Abbiamo dimostrato che, data una successione limitata , esiste almeno una sottosuccessione che converge a un punto . Questo conclude la dimostrazione del **Teorema di Bolzano-Weierstrass**.
