Dimostrazione del Teorema degli Zeri

Dimostrazione del Teorema degli Zeri

Il **Teorema degli Zeri** afferma che:

Se è una funzione continua su un intervallo chiuso e , allora esiste almeno un punto tale che .

Ipotesi

1. è continua su .
2. , ossia e hanno segni opposti.

Dimostrazione

Poiché è continua su , possiamo applicare il **Teorema di Weierstrass**, che garantisce che assume tutti i valori tra e sull’intervallo .

Dato che , abbiamo:
– e , oppure
– e .

In entrambi i casi, il valore è compreso tra e . Per il Teorema dei Valori Intermedi, esiste almeno un punto tale che:

Conclusione

Abbiamo dimostrato che, se è continua su e , allora esiste almeno un punto tale che . Questo conclude la dimostrazione del **Teorema degli Zeri**.