Il teorema degli zeri: enunciato e dimostrazione per bisezione

Il teorema degli zeri (o teorema di Bolzano) è uno di quei risultati che sembrano ovvi a colpo d’occhio: se una funzione continua parte sotto l’asse delle x e arriva sopra, da qualche parte deve attraversarlo. Eppure dimostrarlo per bene richiede di usare una proprietà dei numeri reali che di solito si dà per scontata, la completezza. Ed è proprio questo il motivo per cui vale la pena studiarne la dimostrazione.

L’enunciato

Sia una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato e supponiamo che e abbiano segno opposto, cioè . Allora esiste almeno un punto tale che

Le ipotesi servono tutte. Se l’intervallo non è chiuso, oppure se la funzione ha anche un solo salto, lo zero può mancare: la funzione che vale per e per cambia segno su ma non si annulla mai.

Attenzione a non girare in tondo

Capita spesso di vedere questo teorema “dimostrato” citando il teorema dei valori intermedi. Il ragionamento in sé non è sbagliato, ma nei corsi di Analisi 1 l’ordine è di solito l’opposto: prima si dimostra il teorema degli zeri, poi da questo si ricava quello dei valori intermedi applicandolo alla funzione . Usare il secondo per dimostrare il primo, quindi, significa dare per buono proprio ciò che si deve provare. La dimostrazione classica, che vediamo qui, è quella per bisezione.

La dimostrazione per bisezione

Senza perdere generalità supponiamo (nel caso opposto basta lavorare con ). Poniamo , e costruiamo una successione di intervalli sempre più piccoli.

1. Prendiamo il punto medio .
2. Se abbiamo trovato lo zero e ci fermiamo.
3. Se poniamo , ; se invece poniamo , .

Se il procedimento non si ferma mai, otteniamo intervalli con tre proprietà:

• (gli estremi sinistri non diminuiscono) e (quelli destri non aumentano);
• la lunghezza si dimezza a ogni passo: ;
• a ogni passo vale ancora , perché abbiamo scelto la metà in cui il segno cambia.

La successione è crescente e limitata superiormente da ; qui entra in gioco la completezza dei reali, che garantisce che una successione monotona e limitata ha limite. Chiamiamo il limite di . Poiché , anche tende a , e chiaramente .

Ora usiamo la continuità di in :

La prima disuguaglianza viene dal fatto che tutti gli sono negativi e il limite di numeri negativi è minore o uguale a zero (la permanenza del segno vale solo in senso debole); la seconda, allo stesso modo, dagli positivi. L’unico numero che è insieme e è lo zero, quindi . Infine non può essere né né , perché lì non si annulla: dunque . ∎

Un esempio con i numeri

Prendiamo su : , . Il teorema garantisce uno zero, che sappiamo essere . Ecco i primi passi della bisezione:

Dopo passi l’errore è al massimo : per avere tre decimali esatti bastano una decina di iterazioni. È esattamente il metodo di bisezione che si studia in Calcolo Numerico: la dimostrazione del teorema è anche un algoritmo, lento ma impossibile da far fallire.

Dove si usa

• Esistenza di soluzioni. L’equazione ha una soluzione in : basta applicare il teorema a , che vale in 0 e in 1.
• Polinomi di grado dispari. Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale, perché per assume valori di segno opposto.
• Teorema dei valori intermedi. Se è continua su , assume ogni valore compreso tra e : si applica il teorema degli zeri a .
• Elettronica. Quando si cerca il punto di lavoro di un circuito non lineare (per esempio un diodo in serie a un resistore) si scrive un’equazione del tipo : sapere che la soluzione esiste in un certo intervallo è il primo passo prima di cercarla con un metodo numerico.

Cosa il teorema non dice

Garantisce almeno uno zero, non uno solo: su cambia segno agli estremi e ha quattro zeri. Per l’unicità serve un’informazione in più, per esempio che sia strettamente monotona. E il viceversa è falso: una funzione può annullarsi senza cambiare segno, come in 0, e lì il teorema non è di nessun aiuto.