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Analisi Matematica 1

Limiti notevoli: tabella, dimostrazioni ed esempi svolti

Tutti i limiti notevoli di Analisi 1 in una tabella, da dove vengono, come si usano le funzioni equivalenti, esempi svolti, l'errore delle equivalenze nelle somme e la gerarchia degli infiniti.

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Quasi tutti i limiti che si presentano nella forma indeterminata 0/0 o 1^\infty negli esercizi di Analisi 1 si risolvono riportandoli a una manciata di limiti “di riferimento”, i limiti notevoli. Questa lezione li raccoglie tutti, spiega da dove vengono e mostra come si usano, compreso il modo di ragionare con le funzioni equivalenti che rende i calcoli molto più rapidi.

La tabella

Limite (per x → 0)ValoreEquivalenza
\dfrac{\sin x}{x}1\sin x \sim x
\dfrac{\tan x}{x}1\tan x \sim x
\dfrac{\arcsin x}{x}, \dfrac{\arctan x}{x}1\arcsin x \sim x, \arctan x \sim x
\dfrac{1-\cos x}{x^2}\tfrac121-\cos x \sim \tfrac{x^2}{2}
\dfrac{\ln(1+x)}{x}1\ln(1+x) \sim x
\dfrac{e^x-1}{x}1e^x - 1 \sim x
\dfrac{a^x-1}{x}\ln aa^x - 1 \sim x\ln a
\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}\alpha(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x
(1+x)^{1/x}e

A questi si aggiunge, all’infinito, \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e, e più in generale \left(1+\frac{a}{x}\right)^x \to e^a.

Da dove vengono

Non c’è bisogno di imparare nove dimostrazioni diverse: discendono quasi tutte da due soli limiti.

Famiglia trigonometrica. Il punto di partenza è \frac{\sin x}{x} \to 1, che si dimostra con un confronto di aree sulla circonferenza goniometrica (la dimostrazione completa è nell’approfondimento dedicato). Da qui:

  • \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x} \to 1;
  • \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1+\cos x} \to \frac12;
  • \frac{\arcsin x}{x}: ponendo x = \sin t, con t \to 0, diventa \frac{t}{\sin t} \to 1. Lo stesso con x = \tan t per l’arcotangente.

Famiglia esponenziale. Il punto di partenza è la definizione del numero di Nepero, \left(1+\frac1n\right)^n \to e, che si estende alle variabili reali: (1+x)^{1/x} \to e per x \to 0. Prendendo il logaritmo, che è continuo:

  • \frac{\ln(1+x)}{x} = \ln\left[(1+x)^{1/x}\right] \to \ln e = 1;
  • \frac{e^x - 1}{x}: ponendo t = e^x - 1, cioè x = \ln(1+t), diventa \frac{t}{\ln(1+t)} \to 1;
  • \frac{a^x - 1}{x} = \frac{e^{x\ln a} - 1}{x\ln a}\cdot \ln a \to \ln a;
  • \frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} = \frac{e^{\alpha\ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot\frac{\alpha\ln(1+x)}{x} \to 1\cdot\alpha = \alpha.

Tutti questi passaggi usano il teorema sul limite della funzione composta e il cambio di variabile, trattati nell’approfondimento sul limite di una funzione composta.

Il linguaggio delle equivalenze

Si scrive f(x) \sim g(x) per x \to x_0 (si legge “f è asintotica a g”) quando \frac{f(x)}{g(x)} \to 1. La terza colonna della tabella dice quindi, per esempio, che vicino a 0 il seno “si comporta come” x. La regola pratica è questa: in un prodotto o in un quoziente si può sostituire ogni fattore con uno equivalente senza cambiare il limite.

Esempio 1.

    \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)\,\ln(1+2x)}{x\,(e^{x}-1)} = \lim_{x\to 0}\frac{3x\cdot 2x}{x\cdot x} = 6. \]

Esempio 2.

    \[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(2x)}{x\,\tan x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{(2x)^2}{2}}{x\cdot x} = 2. \]

Esempio 3 (forma 1^\infty). Per \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+3}{x}\right)^{2x} si scrive la base come 1 + \frac{3}{x} e si usa \left(1+\frac{a}{x}\right)^x \to e^a: il limite vale \left(e^3\right)^2 = e^6. In generale, per una forma 1^\infty del tipo f^g conviene passare a e^{g\ln f} e usare \ln f \sim f - 1.

L’errore più comune: le equivalenze nelle somme

Le equivalenze funzionano nei prodotti e nei quozienti, non nelle somme e nelle differenze. Prendiamo

    \[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3}. \]

Sostituendo \tan x \sim x e \sin x \sim x al numeratore si otterrebbe \frac{x - x}{x^3} = 0, che è sbagliato. Il modo corretto è raccogliere: \tan x - \sin x = \tan x\,(1 - \cos x), e ora si tratta di un prodotto, \sim x\cdot\frac{x^2}{2}. Il limite vale \frac12. Quando i termini principali si cancellano bisogna andare all’ordine successivo, ed è esattamente ciò che fanno gli sviluppi di Taylor, che si studiano più avanti nel corso.

All’infinito: la gerarchia degli infiniti

Per x \to +\infty servono altri riferimenti, che confrontano la velocità di crescita delle funzioni. Per ogni \alpha > 0 e a > 1:

    \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha} = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x} = 0, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0. \]

In breve: il logaritmo cresce più lentamente di qualunque potenza, ogni potenza più lentamente di qualunque esponenziale, e il fattoriale più in fretta di tutti. Così \frac{x^{100}}{e^x} \to 0 anche se per valori “piccoli” di x il numeratore è enorme, e \frac{\ln x}{\sqrt x} \to 0.

Per l’ingegnere

Le equivalenze della tabella sono le approssimazioni “al primo ordine” che si usano di continuo senza nominarle: \sin\theta \approx \theta per i piccoli angoli (pendolo, ottica), e^{-t/\tau} \approx 1 - t/\tau all’inizio della carica di un condensatore, \ln(1+x) \approx x quando si passa ai decibel per piccole variazioni di guadagno, (1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x per linearizzare un dispositivo attorno al punto di lavoro.

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