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Analisi Matematica 1

Funzioni continue: discontinuità e teoremi degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass

Definizione di continuità, tipi di discontinuità, teorema degli zeri, dei valori intermedi e di Weierstrass, continuità dell'inversa e continuità uniforme.

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Intuitivamente una funzione è continua se il suo grafico si può disegnare senza staccare la penna. La definizione rigorosa usa i limiti, e da essa discendono tre teoremi che reggono buona parte dell’Analisi: zeri, valori intermedi, massimi e minimi.

Definizione

f è continua in x_0 (punto del dominio) se \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0). Servono tre cose: che f(x_0) esista, che il limite esista, e che i due coincidano. f è continua su un insieme se lo è in ogni suo punto.

Sono continue nel loro dominio tutte le funzioni elementari: polinomi, razionali, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e le loro inverse. Somme, prodotti, quozienti (dove il denominatore non si annulla) e composizioni di funzioni continue sono continue.

I punti di discontinuità

TipoCosa succedeEsempio
Eliminabileil limite esiste finito ma è diverso da f(x_0), o f non è definita lì\frac{\sin x}{x} in 0
Di prima specie (salto)limiti destro e sinistro finiti ma diversiil gradino, \operatorname{sgn} x in 0
Di seconda speciealmeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste\frac1x in 0, \sin\frac1x in 0

Una discontinuità eliminabile si “ripara” ridefinendo la funzione nel punto: la funzione sinc vale \frac{\sin x}{x} per x \ne 0 e 1 in 0, ed è continua ovunque.

Teorema degli zeri e dei valori intermedi

Teorema degli zeri. Se f è continua su [a, b] e f(a)\,f(b) < 0, esiste c \in (a, b) con f(c) = 0. La dimostrazione per bisezione, con un esempio numerico, è nell’approfondimento.

Teorema dei valori intermedi. Una funzione continua su [a, b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Si ricava dal precedente applicandolo a f(x) - y_0. Conseguenza: l’immagine di un intervallo tramite una funzione continua è ancora un intervallo.

Teorema di Weierstrass

Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] ha massimo e minimo assoluti. Le ipotesi sono tutte necessarie:

  • su (0, 1], aperto a sinistra, \frac1x non ha massimo;
  • su [0, +\infty), illimitato, x non ha massimo;
  • una funzione discontinua su [0, 1] che vale x per x < 1 e 0 in 1 non ha massimo: si avvicina a 1 senza raggiungerlo.

La dimostrazione usa il teorema di Bolzano-Weierstrass: si prende una successione di punti in cui f si avvicina all’estremo superiore, se ne estrae una sottosuccessione convergente e si usa la continuità.

Continuità e invertibilità

Una funzione continua e iniettiva su un intervallo è strettamente monotona, e la sua inversa è anch’essa continua. È ciò che garantisce la continuità di \ln x, \arcsin x, \sqrt[n]{x} a partire da quella di e^x, \sin x, x^n.

Continuità uniforme (cenno)

Nella definizione di continuità il \delta può dipendere dal punto. Se si riesce a scegliere un unico \delta valido per tutti i punti, la funzione è uniformemente continua. \frac1x su (0, 1) è continua ma non uniformemente: vicino a 0 diventa sempre più ripida. Il teorema di Heine-Cantor assicura che su un intervallo chiuso e limitato continuità e continuità uniforme coincidono. Servirà per dimostrare che le funzioni continue sono integrabili.

Esercizio tipo

Per quale valore di k è continua la funzione che vale \frac{e^{2x} - 1}{x} per x \ne 0 e k per x = 0? Il limite in 0 è 2 (limite notevole e^t - 1 \sim t con t = 2x), quindi serve k = 2.

In elettronica la continuità ha un significato fisico preciso: la tensione su un condensatore e la corrente in un’induttanza non possono avere salti, perché richiederebbero potenza infinita. È la regola che si usa per trovare le condizioni iniziali dei transitori.

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