Esercizi sullo studio di funzione svolti, con i grafici

Dodici studi di funzione completi con il grafico: polinomi, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, radici, valori assoluti, cuspidi, asintoti obliqui e numero di soluzioni di un'equazione con parametro.

ielettronica 25 ottobre 2026 13 min di lettura 0 commenti

Esercizi sullo studio di funzione del tipo che si danno nei corsi di Analisi matematica 1, in tre livelli: base, con polinomi, funzioni razionali e l’esponenziale; medio, con logaritmi, radici e valori assoluti; esame, con asintoti obliqui, cuspidi, domini spezzati e discussione del numero di soluzioni di un’equazione, come negli scritti. Per ogni funzione il risultato riassume i punti notevoli; la soluzione completa, passo per passo e con il grafico, si apre con un clic. Le dimostrazioni dei criteri usati sono nell’approfondimento collegato in cima.

Nei grafici i punti rossi sono massimi e minimi, quelli verdi i flessi, quelli neri le intersezioni con gli assi; gli asintoti sono tratteggiati in rosso.

Livello base

Esercizio 1. Un polinomio di terzo grado

Studia $f(x) = x^3 - 3x$ e disegnane il grafico.

Risultato: dispari; massimo locale $(-1, 2)$ , minimo locale $(1, -2)$ , flesso $(0, 0)$ ; nessun asintoto.

Soluzione

1. Dominio e simmetrie. $\mathbb R$ . $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la funzione è dispari, il grafico è simmetrico rispetto all’origine.

2. Zeri e segno. $x(x^2 - 3) = 0$ per $x = 0$ e $x = \pm\sqrt 3 \approx \pm 1{,}73$ . $f \gt 0$ per $-\sqrt 3 \lt x \lt 0$ e per $x \gt \sqrt 3$ .

3. Limiti e asintoti. $f \to \pm\infty$ per $x \to \pm\infty$ . Nessun asintoto: $f(x)/x = x^2 - 3 \to +\infty$ .

4. Derivata prima. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ : positiva per $|x| \gt 1$ , negativa per $|x| \lt 1$ . Crescente su $(-\infty, -1)$ e $(1, +\infty)$ , decrescente su $(-1, 1)$ . Massimo locale $f(-1) = 2$ , minimo locale $f(1) = -2$ .

5. Derivata seconda. $f''(x) = 6x$ : concava per $x \lt 0$ , convessa per $x \gt 0$ . Flesso nell’origine, con tangente di pendenza $f'(0) = -3$ .

6. Grafico. Massimo e minimo sono solo locali, perché la funzione non è limitata.

Grafico di x al cubo meno 3 x — Massimo locale in meno 1, minimo locale in 1, flesso nell’origine; il grafico taglia l’asse x in meno radice di 3, 0 e radice di 3.

Esercizio 2. Una funzione razionale con asintoto orizzontale

Studia $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ .

Risultato: dispari; asintoto $y = 0$ ; minimo assoluto $\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$ , massimo assoluto $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ; flessi in $x = 0$ e $x = \pm\sqrt 3$ .

Soluzione

1. Dominio e simmetrie. Il denominatore non si annulla mai: dominio $\mathbb R$ . Dispari.

2. Zeri e segno. Zero in $x = 0$ ; segno di $x$ .

3. Limiti e asintoti. Grado del numeratore minore di quello del denominatore: $f \to 0$ per $x \to \pm\infty$ , asintoto orizzontale $y = 0$ .

4. Derivata prima. $f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ . Positiva per $|x| \lt 1$ . Decrescente su $(-\infty, -1)$ , crescente su $(-1, 1)$ , decrescente su $(1, +\infty)$ . Minimo $f(-1) = -\frac{1}{2}$ , massimo $f(1) = \frac{1}{2}$ . Sono assoluti: la funzione tende a 0 agli estremi e non supera mai questi valori.

5. Derivata seconda. $f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$ . Il segno è quello di $x(x^2 - 3)$ : negativo per $x \lt -\sqrt 3$ , positivo tra $-\sqrt 3$ e 0, negativo tra 0 e $\sqrt 3$ , positivo oltre. Tre flessi: $(0, 0)$ e $\left(\pm\sqrt 3, \pm\frac{\sqrt 3}{4}\right)$ .

6. Grafico. Il grafico attraversa l’asintoto nell’origine: un asintoto orizzontale descrive solo il comportamento all’infinito.

Grafico di x fratto x quadro più 1 — Minimo in meno 1 e massimo in 1, flessi in meno radice di 3, 0 e radice di 3; il grafico si avvicina all’asse x da entrambi i lati.

Esercizio 3. La gaussiana

Studia $f(x) = e^{-x^2}$ .

Risultato: pari, sempre positiva; asintoto $y = 0$ ; massimo assoluto $(0, 1)$ ; flessi in $x = \pm\frac{1}{\sqrt 2}$ .

Soluzione

1. Dominio e simmetrie. $\mathbb R$ ; pari.

2. Segno. Un esponenziale è sempre positivo: nessuno zero.

3. Limiti. $-x^2 \to -\infty$ , quindi $f \to 0$ : asintoto $y = 0$ da entrambi i lati.

4. Derivata prima. $f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$ : crescente per $x \lt 0$ , decrescente per $x \gt 0$ . Massimo assoluto $f(0) = 1$ .

5. Derivata seconda. $f''(x) = (-2 + 4x^2)e^{-x^2} = 2(2x^2 - 1)e^{-x^2}$ : negativa per $|x| \lt \frac{1}{\sqrt 2}$ , positiva fuori. Flessi in $x = \pm\frac{1}{\sqrt 2} \approx \pm 0{,}707$ , dove $f = e^{-1/2} \approx 0{,}607$ .

6. Grafico. È la curva a campana della distribuzione normale (a meno di costanti): i flessi stanno a una “deviazione standard” dal centro, qui $\sigma = \frac{1}{\sqrt 2}$ .

Grafico di e alla meno x quadro — La campana ha il massimo in 0 e i due flessi in più e meno 1 su radice di 2; tende a zero da entrambi i lati.

Livello medio

Esercizio 4. Asintoto verticale e obliquo

Studia $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ .

Risultato: asintoti $x = 1$ e $y = x + 1$ ; massimo locale $(0, 0)$ , minimo locale $(2, 4)$ ; concava per $x \lt 1$ , convessa per $x \gt 1$ , nessun flesso.

Soluzione

1. Dominio. $x \ne 1$ . Nessuna simmetria (il dominio non è simmetrico).

2. Zeri e segno. Zero doppio in $x = 0$ . Il numeratore è $\ge 0$ : il segno è quello di $x - 1$ , negativo a sinistra di 1 e positivo a destra.

3. Limiti e asintoti. $x \to 1^\pm$ : $f \to \pm\infty$ , asintoto verticale $x = 1$ . Divisione: $x^2 = (x - 1)(x + 1) + 1$ , quindi $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ : asintoto obliquo $y = x + 1$ , con il grafico sopra per $x \gt 1$ e sotto per $x \lt 1$ .

4. Derivata prima. $f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$ . Positiva per $x \lt 0$ e per $x \gt 2$ . Crescente su $(-\infty, 0)$ , decrescente su $(0, 1)$ e su $(1, 2)$ , crescente su $(2, +\infty)$ . Massimo locale $f(0) = 0$ , minimo locale $f(2) = 4$ .

Il massimo vale meno del minimo: non è una contraddizione, perché stanno su due rami separati dall’asintoto verticale.

5. Derivata seconda. Dalla forma $f = x + 1 + (x - 1)^{-1}$ : $f''(x) = \dfrac{2}{(x - 1)^3}$ . Concava per $x \lt 1$ , convessa per $x \gt 1$ . Nessun flesso: il cambio di concavità avviene in $x = 1$ , che non appartiene al dominio.

Grafico di x quadro fratto x meno 1 — Due rami separati dall’asintoto verticale x uguale a 1: quello di sinistra ha un massimo nell’origine, quello di destra un minimo in 2, 4. Entrambi si avvicinano all’asintoto obliquo y uguale a x più 1.

Esercizio 5. Logaritmo fratto x

Studia $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ e usa il risultato per stabilire quale numero è maggiore tra $e^\pi$ e $\pi^e$ .

Risultato: asintoti $x = 0$ e $y = 0$ ; massimo assoluto $\left(e, \frac{1}{e}\right)$ ; flesso in $x = e^{3/2}$ ; $e^\pi \gt \pi^e$ .

Soluzione

1. Dominio. $x \gt 0$ .

2. Zeri e segno. Zero in $x = 1$ ; positiva per $x \gt 1$ .

3. Limiti. $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ e $1/x \to +\infty$ , il prodotto $\to -\infty$ : asintoto verticale $x = 0$ . $x \to +\infty$ : $\ln x/x \to 0$ (gerarchia degli infiniti), asintoto orizzontale $y = 0$ .

4. Derivata prima. $f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ : positiva per $x \lt e$ . Massimo assoluto $f(e) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$ .

5. Derivata seconda. $f''(x) = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}$ : flesso in $x = e^{3/2} \approx 4{,}48$ , $f = \frac{3}{2e^{3/2}} \approx 0{,}335$ ; concava prima, convessa dopo.

6. Applicazione. Poiché il massimo è in $e$ , per $\pi \ne e$ vale $\frac{\ln\pi}{\pi} \lt \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$ . Moltiplicando per $e\pi \gt 0$ : $e\ln\pi \lt \pi$ , cioè $\ln(\pi^e) \lt \ln(e^\pi)$ , e quindi $\pi^e \lt e^\pi$ (circa 22,46 contro 23,14). Lo studio di funzione serve anche a dimostrare disuguaglianze.

Grafico di logaritmo di x fratto x — Parte da meno infinito vicino all’asse y, attraversa l’asse x in 1, ha il massimo in x uguale a e, il flesso in e alla tre mezzi e poi scende lentamente verso zero.

Esercizio 6. Una radice con tangenti verticali

Studia $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$ .

Risultato: dominio $[-2, 2]$ , dispari; massimo assoluto $\left(\sqrt 2, 2\right)$ , minimo assoluto $\left(-\sqrt 2, -2\right)$ ; flesso $(0, 0)$ ; tangenti verticali in $x = \pm 2$ .

Soluzione

1. Dominio e simmetrie. $4 - x^2 \ge 0$ , cioè $-2 \le x \le 2$ . Dispari.

2. Zeri e segno. Zeri in 0 e $\pm 2$ ; segno di $x$ .

3. Limiti e asintoti. Il dominio è un intervallo chiuso e $f$ è continua: niente asintoti, e per il teorema di Weierstrass ha massimo e minimo assoluti.

4. Derivata prima. Per $-2 \lt x \lt 2$ :

$f'(x) = \sqrt{4 - x^2} + x\cdot\frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}$

Si annulla in $x = \pm\sqrt 2$ . Crescente su $(-\sqrt 2, \sqrt 2)$ , decrescente su $(-2, -\sqrt 2)$ e su $(\sqrt 2, 2)$ . Massimo $f(\sqrt 2) = \sqrt 2\cdot\sqrt 2 = 2$ , minimo $-2$ .

Agli estremi: $\lim_{x\to 2^-}f'(x) = \frac{-4}{0^+} = -\infty$ . Per il teorema del limite della derivata, in $x = 2$ la tangente è verticale; lo stesso in $-2$ .

5. Derivata seconda. $f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 6)}{(4 - x^2)^{3/2}}$ . Nel dominio $x^2 - 6 \lt 0$ , quindi il segno è opposto a quello di $x$ : convessa per $x \lt 0$ , concava per $x \gt 0$ . Flesso nell’origine, con pendenza $f'(0) = 2$ .

Grafico di x per radice di 4 meno x quadro — Il grafico è definito tra meno 2 e 2, dove arriva con tangente verticale; minimo in meno radice di 2, massimo in radice di 2, flesso nell’origine.

Esercizio 7. Un valore assoluto e un punto angoloso

Studia $f(x) = |x|\,e^{-x}$ .

Risultato: minimo assoluto $(0, 0)$ in un punto angoloso; massimo locale $\left(1, \frac{1}{e}\right)$ ; flesso $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$ ; asintoto $y = 0$ per $x \to +\infty$ .

Soluzione

1. Dominio. $\mathbb R$ . Si spezza il valore assoluto: $f(x) = x\,e^{-x}$ per $x \ge 0$ , $f(x) = -x\,e^{-x}$ per $x \lt 0$ .

2. Segno. $f \ge 0$ , zero solo in 0: l’origine è quindi minimo assoluto, qualunque cosa dica la derivata.

3. Limiti. $x \to +\infty$ : $x/e^x \to 0$ , asintoto $y = 0$ . $x \to -\infty$ : $-x\,e^{-x} \to +\infty$ , e $f(x)/x = -e^{-x} \to -\infty$ : nessun asintoto obliquo.

4. Derivata prima. Per $x \gt 0$ : $f' = (1 - x)e^{-x}$ . Per $x \lt 0$ : $f' = (x - 1)e^{-x} \lt 0$ . Quindi $f$ decresce su $(-\infty, 0)$ , cresce su $(0, 1)$ , decresce su $(1, +\infty)$ : massimo locale $f(1) = \frac{1}{e}$ .

In 0: $f'(0^+) = 1$ , $f'(0^-) = -1$ . Derivate laterali finite e diverse: punto angoloso.

5. Derivata seconda. Per $x \gt 0$ : $f'' = (x - 2)e^{-x}$ , flesso in $x = 2$ , $f(2) = 2/e^2 \approx 0{,}271$ . Per $x \lt 0$ : $f'' = (2 - x)e^{-x} \gt 0$ , convessa.

Grafico di valore assoluto di x per e alla meno x — A sinistra il grafico scende da più infinito fino all’origine, dove forma un angolo; a destra sale fino al massimo in 1, cambia concavità in 2 e si appiattisce sull’asse x.

Livello esame

Esercizio 8. Un asintoto da una parte sola

Studia $f(x) = x\,e^{1/x}$ .

Risultato: asintoto verticale $x = 0$ solo da destra; asintoto obliquo $y = x + 1$ ; minimo locale $(1, e)$ ; per $x \to 0^-$ il grafico arriva nell’origine con tangente orizzontale; nessun flesso.

Soluzione

1. Dominio. $x \ne 0$ .

2. Segno. Segno di $x$ ; nessuno zero.

3. Limiti. $x \to 0^+$ : con $t = 1/x \to +\infty$ , $f = e^t/t \to +\infty$ : asintoto verticale da destra. $x \to 0^-$ : $1/x \to -\infty$ , $e^{1/x} \to 0$ , e $f \to 0$ : da sinistra nessun asintoto, il grafico si avvicina all’origine.

Obliquo: $m = \lim e^{1/x} = 1$ ; $q = \lim x\left(e^{1/x} - 1\right) = 1$ (con $t = 1/x$ , $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ ). Asintoto $y = x + 1$ da entrambe le parti. Con Taylor, $f(x) - (x + 1) = x\left(e^{1/x} - 1 - \frac{1}{x}\right) \sim x\cdot\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{2x}$ : grafico sopra l’asintoto per $x \to +\infty$ , sotto per $x \to -\infty$ .

4. Derivata prima. $f'(x) = e^{1/x} + x\,e^{1/x}\left(-\frac{1}{x^2}\right) = e^{1/x}\,\dfrac{x - 1}{x}$ . Il segno è quello di $\frac{x - 1}{x}$ : positivo per $x \lt 0$ e per $x \gt 1$ . Minimo locale $f(1) = e$ .

Per $x \to 0^-$ : $f'(x) = e^{1/x}\left(1 - \frac{1}{x}\right)$ ; con $t = 1/x \to -\infty$ , $e^t(1 - t) \to 0$ . Il grafico arriva all’origine con tangente orizzontale.

5. Derivata seconda. $f''(x) = \dfrac{e^{1/x}}{x^3}$ : concava per $x \lt 0$ , convessa per $x \gt 0$ . Nessun flesso (0 è escluso).

Grafico di x per e alla 1 su x — Il ramo di sinistra sale lungo l’asintoto obliquo y uguale a x più 1, restando sotto, e arriva piatto nell’origine. Il ramo di destra scende da più infinito vicino all’asse y, ha il minimo in 1, e poi risale sopra l’asintoto obliquo.

Esercizio 9. Un logaritmo con il dominio spezzato

Studia $f(x) = \ln\left(x^2 - 3x + 2\right)$ .

Risultato: dominio $x \lt 1$ o $x \gt 2$ , simmetrica rispetto alla retta $x = \frac{3}{2}$ ; asintoti verticali $x = 1$ e $x = 2$ ; decrescente per $x \lt 1$ , crescente per $x \gt 2$ ; concava ovunque; zeri $\frac{3 \pm \sqrt 5}{2}$ .

Soluzione

1. Dominio. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \gt 0$ : $x \lt 1$ oppure $x \gt 2$ .

Simmetria. Sostituendo $3 - x$ al posto di $x$ : $(3 - x)^2 - 3(3 - x) + 2 = x^2 - 3x + 2$ . Quindi $f(3 - x) = f(x)$ : il grafico è simmetrico rispetto alla retta $x = \frac{3}{2}$ , l’asse della parabola dentro il logaritmo.

2. Zeri e segno. $f = 0$ se $x^2 - 3x + 2 = 1$ , cioè $x = \frac{3 \pm \sqrt 5}{2} \approx 0{,}382$ e $2{,}618$ . $f \gt 0$ se l’argomento supera 1: $x \lt 0{,}382$ oppure $x \gt 2{,}618$ .

3. Limiti. $x \to 1^-$ e $x \to 2^+$ : l’argomento $\to 0^+$ , $f \to -\infty$ : asintoti verticali. $x \to \pm\infty$ : $f \to +\infty$ , ma $f(x)/x \to 0$ (il logaritmo cresce meno di $x$ ): nessun asintoto obliquo.

4. Derivata prima. $f'(x) = \dfrac{2x - 3}{(x - 1)(x - 2)}$ . Nel dominio il denominatore è positivo: il segno è quello di $2x - 3$ . Per $x \lt 1$ è negativo (decrescente), per $x \gt 2$ positivo (crescente). Lo zero $x = 3/2$ non appartiene al dominio: niente estremi.

5. Derivata seconda. $f''(x) = -\dfrac{2x^2 - 6x + 5}{(x - 1)^2(x - 2)^2}$ . Il trinomio $2x^2 - 6x + 5$ ha discriminante $36 - 40 \lt 0$ ed è sempre positivo: $f'' \lt 0$ , concava su tutti e due gli intervalli.

Grafico del logaritmo di x quadro meno 3 x più 2 — Due rami simmetrici rispetto alla retta x uguale a tre mezzi: quello di sinistra scende verso l’asintoto x uguale a 1, quello di destra sale dall’asintoto x uguale a 2. Entrambi tagliano l’asse x.

Esercizio 10. Una cuspide

Studia $f(x) = \sqrt[3]{x^2}\,(x - 5)$ .

Risultato: cuspide con massimo locale in $(0, 0)$ ; minimo locale $\left(2, -3\sqrt[3]{4}\right) \approx (2;\ -4{,}76)$ ; flesso $(-1, -6)$ ; nessun asintoto.

Soluzione

1. Dominio. $\mathbb R$ : la radice cubica è definita ovunque. Si scrive $f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3}$ .

2. Zeri e segno. Zeri in 0 e 5. $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$ , quindi il segno è quello di $x - 5$ : negativa per $x \lt 5$ (tranne in 0), positiva dopo.

3. Limiti. $\pm\infty$ agli estremi; $f(x)/x \to +\infty$ : nessun asintoto.

4. Derivata prima. Per $x \ne 0$ :

$f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{10}{3}x^{-1/3} = \frac{5}{3}\cdot\frac{x - 2}{\sqrt[3]{x}}$

Segno di $\frac{x - 2}{\sqrt[3]{x}}$ : positivo per $x \lt 0$ (numeratore e denominatore negativi) e per $x \gt 2$ ; negativo tra 0 e 2. Minimo locale $f(2) = \sqrt[3]{4}\cdot(-3) \approx -4{,}76$ .

In 0: $\lim_{x\to 0^+}f'(x) = \frac{-2}{0^+} = -\infty$ e $\lim_{x\to 0^-}f'(x) = \frac{-2}{0^-} = +\infty$ . Derivate infinite di segno opposto: cuspide, che è anche un massimo locale (la funzione cresce prima e decresce dopo).

5. Derivata seconda. $f''(x) = \dfrac{10}{9}\cdot\dfrac{x + 1}{x^{4/3}}$ . Il denominatore $x^{4/3} = \sqrt[3]{x^4}$ è positivo: concava per $x \lt -1$ , convessa per $x \gt -1$ ( $x \ne 0$ ). Flesso in $(-1, -6)$ .

Grafico della radice cubica di x quadro per x meno 5 — La curva sale fino all’origine, dove forma una punta verso l’alto, scende al minimo in x uguale a 2, risale e taglia l’asse x in 5. Il flesso è in meno 1.

Esercizio 11. Esponenziale fratto lineare

Studia $f(x) = \dfrac{e^x}{x - 1}$ .

Risultato: asintoti $x = 1$ e $y = 0$ (per $x \to -\infty$ ); minimo locale $(2, e^2)$ ; concava per $x \lt 1$ , convessa per $x \gt 1$ ; nessun flesso.

Soluzione

1. Dominio. $x \ne 1$ .

2. Zeri e segno. Nessuno zero; segno di $x - 1$ . Interseca l’asse $y$ in $f(0) = -1$ .

3. Limiti. $x \to 1^\pm$ : $f \to \pm\infty$ . $x \to -\infty$ : $e^x \to 0$ e il denominatore $\to -\infty$ , $f \to 0^-$ : asintoto $y = 0$ a sinistra. $x \to +\infty$ : $f \to +\infty$ e $f(x)/x = \frac{e^x}{x(x - 1)} \to +\infty$ : niente asintoto obliquo.

4. Derivata prima. $f'(x) = \dfrac{e^x(x - 1) - e^x}{(x - 1)^2} = \dfrac{e^x(x - 2)}{(x - 1)^2}$ : negativa per $x \lt 2$ ( $x \ne 1$ ), positiva dopo. Minimo locale $f(2) = e^2 \approx 7{,}39$ .

5. Derivata seconda. $f''(x) = \dfrac{e^x(x^2 - 4x + 5)}{(x - 1)^3}$ . $x^2 - 4x + 5$ ha discriminante negativo, è sempre positivo: il segno è quello di $x - 1$ . Concava a sinistra di 1, convessa a destra, nessun flesso.

Grafico di e alla x fratto x meno 1 — A sinistra il grafico parte dall’asse x, passa per 0, meno 1 e scende verso meno infinito vicino a x uguale a 1. A destra scende da più infinito al minimo in 2 e poi risale rapidamente.

Esercizio 12. Quante soluzioni ha un’equazione

Al variare del parametro reale $k$ , quante soluzioni ha l’equazione $x\,e^{-x} = k$ ?

Risultato: nessuna per $k \gt \frac{1}{e}$ ; una per $k = \frac{1}{e}$ ; due per $0 \lt k \lt \frac{1}{e}$ ; una per $k \le 0$ .

Soluzione

Le soluzioni sono le ascisse delle intersezioni tra il grafico di $f(x) = x\,e^{-x}$ e la retta orizzontale $y = k$ . Il grafico è quello studiato nella lezione:

$f \to -\infty$ per $x \to -\infty$ , $f \to 0^+$ per $x \to +\infty$ ;
crescente su $(-\infty, 1)$ , decrescente su $(1, +\infty)$ , massimo assoluto $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$ ;
$f \lt 0$ per $x \lt 0$ , $f \gt 0$ per $x \gt 0$ .

Si sposta la retta dall’alto in basso:

1. $k \gt \frac{1}{e}$ : la retta sta sopra il massimo, nessuna soluzione.

2. $k = \frac{1}{e}$ : la retta è tangente nel massimo, una soluzione, $x = 1$ .

3. $0 \lt k \lt \frac{1}{e}$ : due soluzioni, una in $(0, 1)$ sul ramo crescente e una in $(1, +\infty)$ sul ramo decrescente (che non arriva mai a 0). Per $k = 0{,}2$ sono circa 0,259 e 2,543.

4. $k \le 0$ : la parte positiva del grafico non conta più; il ramo $x \le 0$ è crescente e va da $-\infty$ a 0, quindi c’è una soluzione, $x \le 0$ . Per $k = -0{,}3$ è circa $-0{,}237$ .

L’esistenza delle soluzioni segue dal teorema dei valori intermedi (funzione continua), l’unicità su ogni ramo dalla monotonia.

Grafico di x per e alla meno x con quattro rette orizzontali — La retta k1, sopra il massimo, non incontra il grafico; k2 lo tocca nel massimo; k3, tra zero e il massimo, lo incontra due volte; k4, negativa, una sola volta a sinistra dell’origine.

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Livello base

Esercizio 1. Un polinomio di terzo grado

Esercizio 2. Una funzione razionale con asintoto orizzontale

Esercizio 3. La gaussiana

Livello medio

Esercizio 4. Asintoto verticale e obliquo

Esercizio 5. Logaritmo fratto x

Esercizio 6. Una radice con tangenti verticali

Esercizio 7. Un valore assoluto e un punto angoloso

Livello esame

Esercizio 8. Un asintoto da una parte sola

Esercizio 9. Un logaritmo con il dominio spezzato

Esercizio 10. Una cuspide

Esercizio 11. Esponenziale fratto lineare

Esercizio 12. Quante soluzioni ha un’equazione

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