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Limiti, approfondimento: il numero e, la gerarchia degli infiniti, gli o piccolo e le tabelle da ricordare

Esistenza del numero e dimostrata, passaggio dalle successioni alle funzioni, gerarchia degli infiniti, regole degli o piccolo e sostituzione degli infinitesimi, tabelle di limiti notevoli, equivalenze, sviluppi di Taylor e forme indeterminate.

ielettronica 25 ottobre 2026 Aggiornato il 26 ottobre 2026 8 min di lettura 1 commento

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Questa pagina approfondisce le lezioni sui limiti e sui limiti notevoli. Dimostra con tutti i passaggi i risultati che di solito si usano senza prova: l’esistenza del numero $e$ , il passaggio dalle successioni alle funzioni, la gerarchia degli infiniti, le regole degli “o piccolo” e il principio di sostituzione degli infinitesimi. In fondo ci sono le tabelle da ricordare: limiti notevoli, equivalenze, sviluppi di Taylor più usati, forme indeterminate con la tecnica adatta a ciascuna. La dimostrazione geometrica di $\sin x/x \to 1$ è in un approfondimento a parte, collegato dalla lezione.

Il numero e esiste

Teorema. La successione $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è crescente e limitata, $2 \le a_n \lt 3$ ; quindi ha limite, che si chiama $e$ , con $2 \lt e \le 3$ .

Dimostrazione. Con la formula del binomio:

$a_n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)$

Crescente. Passando da $n$ a $n + 1$ , ogni fattore $1 - j/n$ diventa $1 - j/(n + 1)$ , che è più grande; quindi ogni termine della somma cresce. In più si aggiunge un termine positivo (quello con $k = n + 1$ ). Dunque $a_{n+1} \gt a_n$ .

Limitata. Ogni prodotto di fattori minori di 1 è minore di 1, quindi $a_n \lt \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ . Per $k \ge 1$ , $k! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots k \ge 2^{k-1}$ , quindi

$a_n \lt 1 + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \lt 1 + \frac{1}{1 - 1/2} = 3$

Una successione crescente e limitata superiormente ha limite (teorema delle successioni monotone, lezione sulle successioni). Poiché $a_1 = 2$ e la successione cresce, il limite è maggiore di 2. ∎

Il valore è $e = 2{,}718\,281\,8\ldots$ ; la stessa dimostrazione mostra anche che $e = \sum_{k \ge 0} 1/k!$ , una serie che converge molto in fretta.

Dalle successioni alle funzioni

Teorema. $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ e $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} = e$ .

Dimostrazione. *Verso $+\infty$ .* Per $x \ge 1$ sia $n = \lfloor x\rfloor$ la parte intera, così $n \le x \lt n + 1$ . Allora $\frac{1}{n + 1} \lt \frac{1}{x} \le \frac{1}{n}$ , e poiché base ed esponente crescono entrambi:

$\left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{n} \le \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \le \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$

A sinistra c’è $a_{n+1}/(1 + \frac{1}{n + 1}) \to e/1$ ; a destra $a_n(1 + \frac{1}{n}) \to e\cdot 1$ . Per il teorema del confronto anche il termine centrale tende a $e$ .

*Verso $-\infty$ .* Si pone $x = -(t + 1)$ , con $t \to +\infty$ :

$\left(1 - \frac{1}{t + 1}\right)^{-(t+1)} = \left(\frac{t + 1}{t}\right)^{t + 1} = \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}\left(1 + \frac{1}{t}\right) \to e\cdot 1$

*Verso 0.* Con $x = 1/t$ : se $x \to 0^+$ , $t \to +\infty$ ; se $x \to 0^-$ , $t \to -\infty$ . In entrambi i casi $(1 + x)^{1/x} = (1 + 1/t)^t \to e$ . ∎

Grafico di (1 + 1/x) elevato x — La funzione tende a e sia per x che va a più infinito, da sotto, sia per x che va a meno infinito, da sopra. Tra meno 1 e 0 non è definita. I punti sono i valori della successione per n intero.

Da qui discendono, come mostra la lezione, $\ln(1 + x)/x \to 1$ , $(e^x - 1)/x \to 1$ , $(a^x - 1)/x \to \ln a$ e $((1 + x)^\alpha - 1)/x \to \alpha$ . Un corollario utile: $\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{bx} \to e^{ab}$ , che si ottiene ponendo $x = a\,t$ .

La gerarchia degli infiniti, dimostrata

Teorema. Per ogni $\alpha \gt 0$ e $a \gt 1$ :

$\text{(i)}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha} = 0,\qquad \text{(ii)}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x} = 0,\qquad \text{(iii)}\ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0$

Dimostrazione. *(i)* Prima il caso $\alpha = 1$ . Per $x \ge 1$ , poiché $1/t \le 1/\sqrt t$ per $t \ge 1$ :

$\ln x = \int_1^x\frac{dt}{t} \le \int_1^x\frac{dt}{\sqrt t} = 2(\sqrt x - 1) \lt 2\sqrt x$

quindi $0 \le \frac{\ln x}{x} \lt \frac{2}{\sqrt x} \to 0$ . Per $\alpha$ qualunque si scrive $\frac{\ln x}{x^\alpha} = \frac{1}{\alpha}\cdot\frac{\ln(x^\alpha)}{x^\alpha}$ e si pone $y = x^\alpha \to +\infty$ : è $\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{\ln y}{y} \to 0$ .

*(ii)* Si pone $x = \log_a y$ , cioè $y = a^x \to +\infty$ : $\frac{x^\alpha}{a^x} = \frac{(\ln y/\ln a)^\alpha}{y} = \frac{1}{(\ln a)^\alpha}\left(\frac{\ln y}{y^{1/\alpha}}\right)^\alpha$ , che tende a 0 per (i) con esponente $1/\alpha$ .

*(iii)* Sia $N$ un intero maggiore di $2a$ . Per $n \gt N$ , ogni fattore $a/k$ con $k \gt N$ è minore di $1/2$ :

$\frac{a^n}{n!} = \frac{a^N}{N!}\cdot\frac{a}{N + 1}\cdots\frac{a}{n} \lt \frac{a^N}{N!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n - N} \to 0$

∎

Il primo è quello che si usa per $x\ln x \to 0$ per $x \to 0^+$ (si pone $x = 1/t$ ), e quindi per $x^x = e^{x\ln x} \to 1$ .

Rapporti tra infiniti di ordine diverso — La curva blu è x alla terza fratto e alla x: sale fino a circa 1,34 in x uguale a 3 e poi crolla a zero, perché l’esponenziale vince. La curva arancione è logaritmo di x fratto radice di x: arriva al massimo in x uguale a e al quadrato e poi tende lentamente a zero, perché la potenza vince sul logaritmo.

Gli o piccolo e il principio di sostituzione

Definizione. Per $x \to x_0$ si scrive $f = o(g)$ (“f è un o piccolo di g”) se $f(x)/g(x) \to 0$ : $f$ è trascurabile rispetto a $g$ . Per esempio $x^3 = o(x^2)$ per $x \to 0$ , ma $x^2 = o(x^3)$ per $x \to \infty$ . Il legame con le equivalenze: $f \sim g$ se e solo se $f = g + o(g)$ .

Regole di calcolo (per $x \to 0$ , con $m, n$ positivi), tutte conseguenze immediate della definizione:

$o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n)$ : la differenza di due o piccoli non è zero;
$c\cdot o(x^n) = o(x^n)$ per ogni costante $c \ne 0$ ;
$x^m\cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$ e $o(x^m)\cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$ ;
$o(x^n)/x^m = o(x^{n-m})$ per $m \le n$ ;
se $m \gt n$ , $o(x^m) = o(x^n)$ e $x^m = o(x^n)$ : in una somma “vince” la potenza più bassa.

Teorema (sostituzione degli infinitesimi). Se $f \sim f_1$ e $g \sim g_1$ , allora $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f_1}{g_1}$ , nel senso che uno dei due limiti esiste se e solo se esiste l’altro, e sono uguali. Lo stesso vale per i prodotti.

Dimostrazione. $\frac{f}{g} = \frac{f}{f_1}\cdot\frac{f_1}{g_1}\cdot\frac{g_1}{g}$ , e il primo e l’ultimo fattore tendono a 1. ∎

Nelle somme invece la sostituzione è lecita solo se i termini principali non si cancellano: $f + g \sim f_1 + g_1$ se $f_1 + g_1$ non è “più piccolo” dei singoli termini. Quando si cancellano, come in $\tan x - \sin x$ , bisogna conservare i termini dell’ordine successivo, cioè usare gli sviluppi di Taylor con il resto $o(\cdot)$ scritto esplicitamente. È la regola che evita il 90 % degli errori agli scritti.

Infinitesimi di ordine diverso vicino a zero — Le curve x, x al quadrato e x alla terza: vicino all’origine ogni potenza è trascurabile rispetto alla precedente. È il significato grafico di x alla terza uguale o piccolo di x al quadrato per x che tende a zero.

Le tabelle da ricordare

Limiti notevoli per $x \to 0$ e equivalenze

Limite	Valore	Equivalenza per $x \to 0$
$\dfrac{\sin x}{x}$ , $\dfrac{\tan x}{x}$ , $\dfrac{\arcsin x}{x}$ , $\dfrac{\arctan x}{x}$	1	$\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim x$
$\dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\frac{1}{2}$	$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
$\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$	1	$\ln(1 + x) \sim x$
$\dfrac{\log_a(1 + x)}{x}$	$\frac{1}{\ln a}$	$\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$
$\dfrac{e^x - 1}{x}$	1	$e^x - 1 \sim x$
$\dfrac{a^x - 1}{x}$	$\ln a$	$a^x - 1 \sim x\ln a$
$\dfrac{(1 + x)^\alpha - 1}{x}$	$\alpha$	$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
$\dfrac{\sinh x}{x}$	1	$\sinh x \sim x$
$\dfrac{\cosh x - 1}{x^2}$	$\frac{1}{2}$	$\cosh x - 1 \sim \frac{x^2}{2}$
$(1 + x)^{1/x}$	$e$	$\ln f \sim f - 1$ se $f \to 1$

Ogni riga vale anche con $x$ sostituito da una funzione $h(x) \to 0$ : per esempio $\sin(3x^2) \sim 3x^2$ e $e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$ .

All’infinito ( $\alpha \gt 0$ , $a \gt 1$ , $b$ reale)

Limite	Valore
$\left(1 + \dfrac{b}{x}\right)^x$ per $x \to \pm\infty$	$e^b$
$\dfrac{\ln x}{x^\alpha}$ , $\dfrac{x^\alpha}{a^x}$ , $\dfrac{a^n}{n!}$ , $\dfrac{n!}{n^n}$	0
$x^\alpha\ln x$ e $x^x$ per $x \to 0^+$	0 e 1
$\sqrt[n]{n}$ , $\sqrt[n]{a}$ per $n \to \infty$	1
$n\left(\sqrt[n]{a} - 1\right)$	$\ln a$
$\dfrac{\sin x}{x}$ per $x \to \infty$	0

Ordine di crescita, dal più lento al più veloce: $\ln x \ll x^\alpha \ll a^x \ll x! \ll x^x$ (il simbolo $\ll$ indica “trascurabile rispetto a”).

Sviluppi di Mac Laurin più usati negli esercizi sui limiti

Funzione	Sviluppo per $x \to 0$
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
$\sin x$	$x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$
$\cos x$	$1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$
$\tan x$	$x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)$
$\ln(1 + x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
$(1 + x)^\alpha$	$1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + o(x^2)$
$\sqrt{1 + x}$	$1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)$
$\dfrac{1}{1 + x}$	$1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)$
$\arctan x$	$x - \frac{x^3}{3} + o(x^4)$
$\arcsin x$	$x + \frac{x^3}{6} + o(x^4)$

Forme indeterminate e tecnica

Forma	Esempio tipico	Tecnica
$\frac{0}{0}$	$\frac{\sin 3x}{\ln(1 + 2x)}$	equivalenze; se i termini si cancellano, Taylor
$\frac{\infty}{\infty}$	$\frac{3x^2 - x}{2x^2 + 5}$	raccogliere la potenza o l’infinito dominante
$\infty - \infty$	$\sqrt{x^2 + x} - x$	razionalizzare o raccogliere
$0\cdot\infty$	$x\ln x$	riscrivere come quoziente, gerarchia degli infiniti
$1^\infty$	$\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)^x$	$f^g = e^{g\ln f}$ e $\ln f \sim f - 1$
$0^0$ , $\infty^0$	$x^x$ , $x^{1/x}$	$f^g = e^{g\ln f}$ , poi il limite dell’esponente

Le forme $\frac{1}{0}$ non sono indeterminate: danno $\pm\infty$ , e conta il segno del denominatore (limite destro e sinistro). Neanche $0^\infty$ e $\infty^\infty$ lo sono: valgono 0 e $\infty$ .

Gli esercizi su tutte queste tecniche, dal livello base a quello d’esame, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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ielettronica

9 ore fa

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Il numero e esiste

Dalle successioni alle funzioni

La gerarchia degli infiniti, dimostrata

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