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Analisi Matematica 1

Studio di funzione, approfondimento: monotonia, estremi, convessità e asintoti dimostrati

Teorema di Lagrange e monotonia, teorema di Fermat e criterio delle derivate successive, convessità e flessi, punti angolosi e cuspidi con il limite della derivata, asintoto obliquo, scheda riassuntiva con gli errori da evitare.

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Questa pagina approfondisce la lezione sullo studio di funzione. Lì i criteri sono enunciati e applicati; qui sono dimostrati, perché capire da dove vengono evita gli errori tipici: concludere che una funzione con derivata positiva è crescente anche dove il dominio è spezzato, scambiare un punto a derivata nulla per un estremo, cercare i flessi solo dove f'' = 0. In fondo c’è una scheda riassuntiva da tenere accanto durante gli esercizi.

Il teorema di Lagrange, la chiave di tutto

Teorema (Lagrange, o del valor medio). Se f è continua su [a, b] e derivabile in (a, b), esiste almeno un punto \xi \in (a, b) con

    \[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Geometricamente: c’è un punto in cui la tangente è parallela alla corda che congiunge gli estremi del grafico. La dimostrazione, dal teorema di Rolle, è nella lezione sui teoremi del calcolo differenziale. Qui interessa ciò che ne segue.

Il teorema di Lagrange
La corda arancione congiunge i punti A e B del grafico; nel punto xi la tangente, tratteggiata in verde, ha la stessa pendenza della corda.

Monotonia e segno della derivata

Teorema. Sia f derivabile su un intervallo I. Se f'(x) \gt 0 per ogni x \in I, allora f è strettamente crescente su I; se f'(x) = 0 per ogni x, f è costante su I.

Dimostrazione. Siano x_1 \lt x_2 in I. Poiché I è un intervallo, tutto [x_1, x_2] sta in I, e il teorema di Lagrange dà un \xi con f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1). Se f' \gt 0, il secondo membro è positivo, quindi f(x_2) \gt f(x_1). Se f' = 0, f(x_2) = f(x_1). ∎

L’ipotesi “intervallo” è essenziale. f(x) = -1/x ha f'(x) = 1/x^2 \gt 0 in tutto il dominio, ma f(-1) = 1 \gt f(1) = -1: non è crescente sul dominio, perché questo è l’unione di due intervalli separati da x = 0. Si dice “crescente su (-\infty, 0) e su (0, +\infty)“, mai “crescente su \mathbb R \setminus \{0\}“.

Il viceversa vale in forma debole: se f è crescente, f' \ge 0, ma può annullarsi in punti isolati, come x^3 in 0.

Punti stazionari ed estremi

Teorema (Fermat). Se x_0 è un punto interno al dominio, è un massimo o minimo locale e f è derivabile in x_0, allora f'(x_0) = 0.

Dimostrazione. Sia x_0 un massimo locale: f(x_0 + h) \le f(x_0) per h piccolo. Per h \gt 0 il rapporto incrementale \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} è \le 0, per h \lt 0 è \ge 0. I due limiti sono entrambi uguali a f'(x_0), che è quindi sia \le 0 sia \ge 0: vale 0. ∎

Tre conseguenze pratiche. Gli estremi vanno cercati in tre posti: punti stazionari, punti in cui f non è derivabile, estremi del dominio. Il viceversa è falso: x^3 ha f'(0) = 0 ma 0 non è un estremo. E un punto stazionario va sempre classificato, con il segno di f' o con le derivate successive.

Teorema (criterio delle derivate successive). Se f'(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 e f^{(n)}(x_0) \ne 0, allora: con n pari, x_0 è un minimo se f^{(n)}(x_0) \gt 0 e un massimo se f^{(n)}(x_0) \lt 0; con n dispari, x_0 non è un estremo (è un flesso a tangente orizzontale).

Dimostrazione. Per la formula di Taylor con il resto di Peano, f(x_0 + h) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n + o(h^n). Per h piccolo il segno della differenza è quello del primo termine. Con n pari h^n \gt 0 da entrambi i lati, e il segno è quello di f^{(n)}(x_0); con n dispari h^n cambia segno con h, e la funzione sta sopra da un lato e sotto dall’altro. ∎

Il caso n = 2 è il criterio della derivata seconda. Esempio: x^4 ha le prime tre derivate nulle in 0 e f^{(4)}(0) = 24 \gt 0: minimo.

Convessità

Definizione. f è convessa su un intervallo se ogni corda sta sopra il grafico: per a \lt x \lt b, f(x) \le f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a). È concava se -f è convessa.

Teorema. Se f è derivabile due volte su un intervallo, sono equivalenti: (i) f'' \ge 0; (ii) f' è crescente; (iii) il grafico sta sopra ogni sua retta tangente; (iv) f è convessa.

Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) è il teorema sulla monotonia applicato a f'.

(ii) ⇒ (iii): sia x_0 un punto e x \gt x_0. Per Lagrange f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) con \xi \gt x_0, e poiché f' cresce f'(\xi) \ge f'(x_0): quindi f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). Per x \lt x_0 si ha \xi \lt x_0, f'(\xi) \le f'(x_0), ma anche x - x_0 \lt 0, e la disuguaglianza è la stessa.

(ii) ⇒ (iv): con a \lt x \lt b, Lagrange su [a, x] e su [x, b] dà due punti \xi_1 \lt \xi_2 con pendenze \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi_1) \le f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(x)}{b - x}: la pendenza delle corde cresce, che è un modo equivalente di dire che il punto del grafico in x sta sotto la corda da a a b.

Le implicazioni inverse si dimostrano in modo simile; non servono negli esercizi. ∎

Una funzione convessa con una corda e una tangente
La corda arancione tra i punti di ascissa a e b sta sopra il grafico; la tangente verde nel punto di ascissa x con zero sta sotto. Sono le due caratterizzazioni equivalenti della convessità.

Flessi. Un punto x_0 è di flesso se la concavità cambia passando per x_0 (e il grafico ha lì una tangente, anche verticale). Se f è derivabile due volte, in un flesso f''(x_0) = 0: infatti f'' cambia segno. Ma il viceversa è falso: x^4 ha f''(0) = 0 e in 0 ha un minimo, non un flesso. Un flesso, poi, può stare anche dove f'' non esiste: \sqrt[3]{x} ha in 0 un flesso a tangente verticale. Il metodo corretto è sempre studiare il segno di f''.

Punti in cui la funzione non è derivabile

Dove f è continua ma non derivabile si calcolano la derivata destra e sinistra (o i loro limiti):

  • punto angoloso: derivate destra e sinistra finite e diverse, come |x| in 0 (-1 e +1);
  • cuspide: derivate destra e sinistra infinite di segno opposto, come x^{2/3} in 0;
  • flesso a tangente verticale: derivate destra e sinistra infinite dello stesso segno, come x^{1/3} in 0.
Tre tipi di punti di non derivabilità
Da sinistra: il punto angoloso di valore assoluto di x, la cuspide di x alla due terzi e il flesso a tangente verticale di x alla un terzo, tutti nell’origine.

Teorema (limite della derivata). Se f è continua in x_0, derivabile vicino a x_0 e \lim_{x\to x_0^+}f'(x) = \ell, allora la derivata destra in x_0 esiste e vale \ell (anche se \ell è infinito).

Dimostrazione. Per h \gt 0, Lagrange su [x_0, x_0 + h] dà \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(\xi_h) con x_0 \lt \xi_h \lt x_0 + h. Quando h \to 0^+ anche \xi_h \to x_0^+, quindi il rapporto incrementale tende a \ell. ∎

È il teorema che giustifica il metodo usato in tutti gli esercizi: per sapere che tipo di punto è, basta calcolare il limite della derivata da destra e da sinistra. Attenzione all’ipotesi di continuità: senza di essa il teorema è falso (una funzione a gradino ha derivata nulla ovunque tranne nel salto).

L’asintoto obliquo, dimostrato

Teorema. La retta y = mx + q è asintoto obliquo di f per x \to +\infty, cioè f(x) - (mx + q) \to 0, se e solo se

    \[ m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\ \ (\text{finito e} \ne 0),\qquad q = \lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - mx\big)\ \ (\text{finito}) \]

Dimostrazione. Se la retta è asintoto, f(x) = mx + q + d(x) con d(x) \to 0. Dividendo per x: \frac{f(x)}{x} = m + \frac{q + d(x)}{x} \to m; e f(x) - mx = q + d(x) \to q. Viceversa, se i due limiti esistono finiti, f(x) - mx - q \to q - q = 0. ∎

Conseguenze: se f(x)/x \to \pm\infty (come e^x) o f(x)/x \to m ma f(x) - mx \to \infty (come x + \sqrt x) non c’è asintoto obliquo. E il segno di d(x) = f(x) - (mx + q) dice se il grafico sta sopra o sotto l’asintoto.

Una funzione con asintoto obliquo
La distanza verticale d di x tra il grafico e la retta y uguale a m x più q tende a zero: è la definizione di asintoto obliquo. Qui d di x è positiva, quindi il grafico sta sopra la retta.

La scheda dello studio di funzione

PassoCosa si calcolaErrori da evitare
Dominiocondizioni di esistenza: denominatori \ne 0, radici pari \ge 0, argomenti dei logaritmi \gt 0dimenticare le condizioni combinate, come \ln di una frazione
Simmetrief(-x) = f(x) pari, f(-x) = -f(x) dispari, periodocercare simmetrie se il dominio non è simmetrico
Segno e zerif(x) \gt 0, f(x) = 0sbagliare il segno dei fattori al denominatore
Limitiagli estremi del dominio e nei punti esclusi, destro e sinistrodimenticare il limite da un lato solo
Asintotiverticali, orizzontali, obliqui con m e qcercare l’obliquo dove c’è già l’orizzontale (dallo stesso lato)
Derivata primaf', suo dominio, zeri e segnodire “crescente sul dominio” se è spezzato
Punti non derivabililimiti di f' da destra e da sinistraapplicare il teorema senza continuità
Derivata secondaf'', zeri e segnocercare i flessi solo dove f'' = 0
Graficomettere insieme tutto, controllare la coerenzaincoerenze tra segno di f' e limiti, come una funzione che tende a +\infty a destra ma risulta decrescente fino in fondo

Gli esercizi completi, con il grafico di ognuna delle funzioni, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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