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Metodi Matematici

Teorema e formula integrale di Cauchy, approfondimento: Goursat, deformazione dei contorni, infinite derivate, Liouville e teorema fondamentale dell’algebra

Stima ML e integrale fondamentale, teorema di Cauchy-Goursat dimostrato con i triangoli, deformazione dei contorni, formula integrale e formula delle derivate dimostrate, stima di Cauchy, Liouville, teorema fondamentale dell'algebra, massimo modulo, Morera.

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Questa pagina approfondisce la lezione sul teorema e sulla formula integrale di Cauchy, il cuore dell’analisi complessa. Si parte dagli strumenti di base dell’integrale complesso (la parametrizzazione, la stima del modulo, l’integrale fondamentale di (z - z_0)^n), si dimostra il teorema di Cauchy senza ipotesi superflue (il metodo dei triangoli di Goursat), si ricava la deformazione dei contorni e si dimostrano con tutti i passaggi la formula integrale e la formula per le derivate. Da qui seguono risultati sorprendenti, dimostrati in poche righe: una funzione olomorfa ha infinite derivate, il teorema di Liouville e il teorema fondamentale dell’algebra.

Gli strumenti dell’integrale complesso

Se la curva \gamma è parametrizzata da z(t), a \le t \le b, l’integrale è

    \[ \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt \]

un integrale di una funzione complessa di variabile reale, che si calcola separando parte reale e immaginaria.

Stima del modulo (disuguaglianza ML). Se |f| \le M sulla curva e L è la lunghezza della curva, allora \left|\int_\gamma f\,dz\right| \le ML.

Dimostrazione. \left|\int_a^b f(z(t))z'(t)dt\right| \le \int_a^b|f(z(t))||z'(t)|dt \le M\int_a^b|z'(t)|dt = ML, perché \int|z'|dt è proprio la lunghezza. ∎

È lo strumento che si usa in quasi tutte le dimostrazioni e in tutti gli esercizi sugli integrali reali: serve a mostrare che il contributo di un arco “tende a zero”.

L’integrale fondamentale. Per una circonferenza |z - z_0| = r percorsa in senso antiorario e n intero:

    \[ \oint(z - z_0)^{-1}\,dz = 2\pi i,\qquad \oint(z - z_0)^n\,dz = 0\ \ \text{per}\ n \ne -1 \]

Dimostrazione. Con z = z_0 + re^{it}, dz = ire^{it}dt: \int_0^{2\pi}r^ne^{int}\,ire^{it}dt = ir^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt. L’ultimo integrale vale 2\pi se n + 1 = 0 e 0 altrimenti (una funzione periodica a media nulla). ∎

Tutta la teoria dei residui nasce da qui: in una serie di Laurent integrata su un cerchio sopravvive solo il termine con n = -1, il residuo.

Il teorema di Cauchy, senza ipotesi superflue

Nella lezione il teorema è dimostrato con il teorema di Green, supponendo f' continua. Goursat (1900) mostrò che basta l’olomorfia.

Teorema (Cauchy-Goursat per i triangoli). Se f è olomorfa in un aperto che contiene un triangolo pieno \Delta, allora \oint_{\partial\Delta}f\,dz = 0.

Dimostrazione. Sia I = \left|\oint_{\partial\Delta_0}f\,dz\right|. Si divide \Delta_0 in quattro triangoli unendo i punti medi dei lati. La somma dei quattro integrali di bordo è l’integrale sul bordo esterno, perché i lati interni sono percorsi due volte in versi opposti e si cancellano. Quindi almeno uno dei quattro, \Delta_1, ha \left|\oint_{\partial\Delta_1}f\right| \ge \frac{I}{4}. Ripetendo si ottiene una successione di triangoli incapsulati con

    \[ \left|\oint_{\partial\Delta_n}f\,dz\right| \ge \frac{I}{4^n},\qquad L(\partial\Delta_n) = \frac{L_0}{2^n},\qquad \text{diam}(\Delta_n) \le \frac{L_0}{2^n} \]

I triangoli si restringono a un punto z_0 (sono chiusi, incapsulati, con diametro che tende a zero). In z_0 la funzione è derivabile: f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \varepsilon(z)(z - z_0), con \varepsilon(z) \to 0. I primi due termini sono polinomi, che hanno primitiva, quindi il loro integrale su una curva chiusa è nullo. Resta

    \[ \left|\oint_{\partial\Delta_n}f\,dz\right| = \left|\oint_{\partial\Delta_n}\varepsilon(z)(z - z_0)\,dz\right| \le \max_{\Delta_n}|\varepsilon|\cdot\frac{L_0}{2^n}\cdot\frac{L_0}{2^n} \]

per la stima ML. Mettendo insieme: \frac{I}{4^n} \le \max|\varepsilon|\cdot\frac{L_0^2}{4^n}, cioè I \le L_0^2\max_{\Delta_n}|\varepsilon|, che tende a 0. Quindi I = 0. ∎

Da qui il teorema per qualunque curva chiusa in un dominio semplicemente connesso segue costruendo una primitiva F(z) = \int_{z_0}^zf (l’integrale non dipende dal cammino perché si possono scomporre le differenze in triangoli): una funzione con primitiva ha integrale nullo su ogni curva chiusa.

La dimostrazione di Goursat
Il triangolo di partenza, in blu, viene diviso in quattro unendo i punti medi; tra i quattro si sceglie quello con l’integrale di bordo più grande, in arancione, e lo si divide di nuovo, in rosso. I triangoli si restringono verso un punto z zero, e ad ogni passo l’integrale si riduce al massimo di un fattore 4 mentre il perimetro si dimezza.

Deformare i contorni

Teorema. Se f è olomorfa nella regione compresa tra due curve chiuse semplici \gamma e C, con C dentro \gamma, entrambe percorse in senso antiorario, allora \oint_\gamma f\,dz = \oint_Cf\,dz.

Dimostrazione. Si collegano le due curve con due segmenti vicini, tagliando la regione in due parti semplicemente connesse. Il bordo di ciascuna parte è una curva chiusa su cui f è olomorfa, quindi ha integrale nullo. Sommando i due bordi, i segmenti di collegamento sono percorsi in versi opposti e si cancellano; resta \oint_\gamma f - \oint_Cf = 0 (la curva interna è percorsa in senso orario nel bordo della regione). ∎

In pratica: un integrale attorno a una singolarità non dipende dalla forma della curva, e si può sostituire la curva con un cerchietto piccolo quanto si vuole. È il passaggio chiave della formula integrale.

Deformazione di un contorno
L’integrale lungo la curva blu gamma, che racchiude la singolarità z zero, è uguale a quello lungo il cerchietto verde C epsilon centrato in z zero, perché tra le due curve la funzione è olomorfa.

La formula integrale, dimostrata con cura

Teorema. Se f è olomorfa dentro e su una curva chiusa semplice \gamma percorsa in senso antiorario e z_0 è interno a \gamma:

    \[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z - z_0}\,dz \]

Dimostrazione. La funzione \frac{f(z)}{z - z_0} è olomorfa tranne in z_0. Per la deformazione, l’integrale su \gamma è uguale a quello sul cerchio C_\varepsilon di centro z_0 e raggio \varepsilon, per ogni \varepsilon piccolo. Si scrive

    \[ \oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z - z_0}dz = f(z_0)\oint_{C_\varepsilon}\frac{dz}{z - z_0} + \oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}dz \]

Il primo integrale vale 2\pi i (integrale fondamentale). Per il secondo, con la stima ML: la funzione integranda ha modulo al massimo \frac{\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(z_0)|}{\varepsilon} e la lunghezza è 2\pi\varepsilon, quindi l’integrale è al massimo 2\pi\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(z_0)|, che tende a 0 per \varepsilon \to 0 per la continuità di f. Ma l’integrale non dipende da \varepsilon: quindi è esattamente 0, e resta 2\pi i\,f(z_0). ∎

La formula dice una cosa straordinaria: i valori di una funzione olomorfa all’interno di una curva sono determinati da quelli sul bordo. Non c’è niente di simile per le funzioni reali derivabili.

Infinite derivate

Teorema. Una funzione olomorfa ha derivate di ogni ordine, anch’esse olomorfe, e

    \[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz \]

Dimostrazione (per n = 1). Con la formula integrale, per h piccolo:

    \[ \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)\,\frac{1}{h}\left(\frac{1}{z - z_0 - h} - \frac{1}{z - z_0}\right)dz = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z - z_0 - h)(z - z_0)}dz \]

La differenza con \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z - z_0)^2}dz è \frac{h}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z - z_0 - h)(z - z_0)^2}dz. Se d è la distanza di z_0 da \gamma e |h| \lt d/2, il denominatore ha modulo almeno \frac{d}{2}d^2, e per la stima ML la differenza è al massimo |h|\frac{ML}{2\pi}\cdot\frac{2}{d^3} \to 0. Quindi la derivata esiste ed è data dalla formula con n = 1. Ripetendo lo stesso ragionamento sulla nuova formula si ottengono tutte le derivate successive. ∎

Conseguenza: una funzione derivabile una volta in senso complesso è automaticamente sviluppabile in serie di Taylor (lezione sulle serie di Laurent). La derivabilità complessa è un vincolo enormemente più forte di quella reale.

Tre conseguenze in poche righe

Stima di Cauchy. Se |f| \le M sul cerchio |z - z_0| = R, allora |f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!\,M}{R^n}. Dalla formula delle derivate con la stima ML: \frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R.

Teorema di Liouville. Una funzione olomorfa su tutto \mathbb C e limitata, |f| \le M, è costante. Infatti per ogni R: |f'(z_0)| \le \frac{M}{R}, e facendo tendere R all’infinito f'(z_0) = 0 in ogni punto.

Teorema fondamentale dell’algebra. Ogni polinomio P di grado n \ge 1 ha almeno una radice complessa.

Dimostrazione. Se P non si annullasse mai, f = 1/P sarebbe olomorfa su tutto \mathbb C. Per |z| \to \infty, |P(z)| \to \infty (domina il termine di grado massimo), quindi |f| \to 0: fuori da un cerchio grande |f| \lt 1, e dentro il cerchio |f| è limitata perché continua su un insieme chiuso e limitato. Allora f è limitata su tutto \mathbb C e, per Liouville, costante: impossibile, perché P non è costante. ∎

Dividendo per (z - z_1) e ripetendo, ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse contate con la molteplicità: è il fatto su cui poggiano i fratti semplici, i poli delle funzioni di trasferimento e gli autovalori delle matrici.

Proprietà della media e massimo modulo. Con \gamma il cerchio di raggio r attorno a z_0, la formula integrale diventa f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0 + re^{it})dt: il valore al centro è la media dei valori sulla circonferenza. Ne segue che |f| non può avere un massimo all’interno di un dominio senza essere costante (principio del massimo modulo): il massimo sta sempre sul bordo. Le parti reale e immaginaria di f sono funzioni armoniche, e la stessa proprietà vale per le soluzioni dell’equazione di Laplace: il potenziale elettrostatico in una regione senza cariche ha massimo e minimo sul bordo.

Il viceversa: Morera

Teorema (Morera). Se f è continua in un dominio e \oint_\gamma f\,dz = 0 per ogni triangolo \gamma nel dominio, allora f è olomorfa.

Dimostrazione. L’ipotesi permette di definire una primitiva F(z) = \int_{z_0}^zf indipendente dal cammino, con F' = f. Allora F è olomorfa e, per il teorema delle infinite derivate, lo è anche F' = f. ∎

Gli esercizi su integrali complessi, formula di Cauchy e sue conseguenze sono nella pagina degli esercizi collegata in cima; l’uso dei residui per calcolare integrali reali è nell’approfondimento sul teorema dei residui.

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