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Metodi Matematici

Il teorema dei residui e il calcolo di integrali reali

Residui e loro calcolo, teorema dei residui, integrali sulla retta con il semicerchio, lemma di Jordan, integrale di Dirichlet, integrali trigonometrici e principio dell'argomento.

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Il teorema dei residui è il risultato più usato dell’analisi complessa. Riduce il calcolo di un integrale lungo una curva chiusa alla somma di pochi numeri, i residui, che si calcolano con derivate o limiti. E permette di calcolare integrali reali che con i metodi di Analisi 1 sarebbero impossibili: proprio quelli che compaiono nelle trasformate di Fourier e di Laplace.

Il residuo

Il residuo di f in una singolarità isolata z_0 è il coefficiente a_{-1} della serie di Laurent, quello di \frac{1}{z - z_0}:

    \[ \operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z - z_0| = r}f(z)\,dz \]

L’uguaglianza segue integrando la serie di Laurent termine a termine: per la lezione sul teorema di Cauchy, tutti i termini (z - z_0)^n danno integrale nullo tranne n = -1, che dà 2\pi i. Il residuo è “ciò che resta” dopo l’integrazione.

Il teorema dei residui

Teorema. Se f è olomorfa dentro e su una curva chiusa semplice \gamma, percorsa in senso antiorario, tranne in un numero finito di singolarità z_1, \dots, z_k interne, allora

    \[ \oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{j=1}^{k}\operatorname{Res}(f, z_j) \]

Dimostrazione. Per il teorema di Cauchy si può deformare \gamma in tante piccole circonferenze, una attorno a ciascuna singolarità (come nella figura della lezione sul teorema di Cauchy). L’integrale su ciascuna vale 2\pi i per il residuo corrispondente.

Come si calcolano i residui

  • Polo semplice: \operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z\to z_0}(z - z_0)f(z).
  • Polo semplice di un rapporto f = \frac{g}{h}, con g(z_0) \ne 0, h(z_0) = 0, h'(z_0) \ne 0: \operatorname{Res} = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}. È la formula più comoda.
  • Polo di ordine m:

    \[ \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m - 1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big[(z - z_0)^m f(z)\Big] \]

  • Singolarità essenziale: si scrive la serie di Laurent e si legge a_{-1}.

Esempi. \frac{e^z}{z^2 + 1} in z = i: \frac{e^i}{2i}. \frac{\cos z}{z^3} in 0: polo triplo, \frac{1}{2!}\frac{d^2}{dz^2}\cos z\big|_0 = -\frac12. e^{1/z} in 0: dalla serie 1 + \frac1z + \dots, il residuo è 1.

Integrali reali con il semicerchio

Si vuole calcolare \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx. L’idea è chiudere il segmento [-R, R] con un semicerchio \Gamma_R nel semipiano superiore, applicare il teorema dei residui e mostrare che l’integrale sul semicerchio tende a zero.

Contorno a semicerchio nel semipiano superiore con un polo dentro e uno fuori
Il contorno chiuso è fatto dal segmento da −R a R sull’asse reale e dal semicerchio Γ. Per R abbastanza grande racchiude il polo i, mentre il polo −i resta fuori. Se l’integrale sul semicerchio tende a zero, l’integrale reale è 2πi per la somma dei residui nel semipiano superiore.

Esempio.

    \[ I = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^2} \]

La funzione \frac{1}{1 + z^2} ha poli in \pm i; dentro il contorno c’è solo i, con residuo \frac{1}{2i}. Sul semicerchio |f| \le \frac{1}{R^2 - 1} e la lunghezza è \pi R, quindi l’integrale sul semicerchio è al massimo \frac{\pi R}{R^2 - 1}\to 0. Resta

    \[ I = 2\pi i\cdot\frac{1}{2i} = \pi \]

Lo stesso risultato si ottiene con l’arcotangente, ma il metodo funziona anche quando la primitiva non si conosce. Regola generale: se f = P/Q è razionale, senza poli sull’asse reale e con grado di Q almeno di due più grande del grado di P, l’integrale sul semicerchio tende a zero e

    \[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_j \gt 0}\operatorname{Res}\left(\frac PQ, z_j\right) \]

Il lemma di Jordan e gli integrali di Fourier

Per integrali come \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{i\omega x}dx, che sono trasformate di Fourier, la condizione si indebolisce: con \omega \gt 0 basta che f\to 0 sul semicerchio superiore (lemma di Jordan), perché |e^{i\omega z}| = e^{-\omega y} è piccolo dove y \gt 0.

Esempio. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1 + x^2}dx = \operatorname{Re}\int\frac{e^{ix}}{1 + x^2}dx. Residuo di \frac{e^{iz}}{1 + z^2} in i: \frac{e^{-1}}{2i}. Quindi l’integrale vale 2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i} = \frac{\pi}{e} \approx 1{,}156.

L’integrale di Dirichlet. Con un semicerchio piccolo per aggirare il polo nell’origine si ottiene

    \[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \pi \]

È l’area sotto la funzione sinc, che ritroveremo come trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare.

Integrali trigonometrici

Gli integrali \int_0^{2\pi}R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta si trasformano in integrali sulla circonferenza unitaria con z = e^{i\theta}, \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}, d\theta = \frac{dz}{iz}.

Esempio. \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2 + \cos\theta} = \oint\frac{1}{2 + \frac{z + 1/z}{2}}\cdot\frac{dz}{iz} = \oint\frac{2\,dz}{i(z^2 + 4z + 1)}. Le radici del denominatore sono -2\pm\sqrt3; dentro il cerchio unitario c’è solo z_1 = -2 + \sqrt3. Il residuo di \frac{2}{i(z^2 + 4z + 1)} è \frac{2}{i\cdot 2\sqrt3}, quindi l’integrale vale 2\pi i\cdot\frac{1}{i\sqrt3} = \frac{2\pi}{\sqrt3}.

Il principio dell’argomento

Un’ultima applicazione, fondamentale nei controlli automatici: per una funzione con zeri e poli, \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f'(z)}{f(z)}dz = Z - P, il numero di zeri meno il numero di poli dentro la curva. Geometricamente è il numero di giri che l’immagine f(\gamma) compie attorno all’origine. Il criterio di Nyquist usa proprio questo per stabilire se un sistema retroazionato è stabile, guardando solo la risposta in frequenza dell’anello aperto.

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