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Metodi Matematici

Serie di Taylor e di Laurent, singolarità e poli

Raggio di convergenza e singolarità, serie di Laurent in una corona, singolarità eliminabili, poli ed essenziali, zeri isolati e principio di identità, poli nei sistemi.

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Una funzione olomorfa si sviluppa in serie di Taylor attorno a ogni punto, e la serie converge fino alla singolarità più vicina. Ma che cosa succede attorno a una singolarità? La risposta è la serie di Laurent, che ammette anche potenze negative. Le singolarità, che in un sistema fisico sono i poli della funzione di trasferimento, ne determinano tutto il comportamento.

La serie di Taylor in campo complesso

Teorema. Se f è olomorfa nel disco |z - z_0| \lt R, allora in tutto il disco

    \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n,\qquad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\,d\zeta \]

La dimostrazione parte dalla formula integrale di Cauchy e sviluppa \frac{1}{\zeta - z} in serie geometrica. La conseguenza è notevole: il raggio di convergenza è la distanza dalla singolarità più vicina.

Questo spiega un mistero dell’analisi reale. La funzione \frac{1}{1 + x^2} è perfettamente regolare su tutta la retta reale, eppure la sua serie di Taylor in 0, 1 - x^2 + x^4 - \dots, converge solo per |x| \lt 1. Il motivo si vede solo nel piano complesso: \frac{1}{1 + z^2} ha due singolarità in z = \pm i, a distanza 1 dall’origine.

La serie di Laurent

Teorema. Se f è olomorfa nella corona r \lt |z - z_0| \lt R, allora

    \[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z - z_0)^n}}_{\text{parte principale}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n}_{\text{parte regolare}} \]

con coefficienti a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}d\zeta, calcolati lungo una qualsiasi circonferenza nella corona.

Corona circolare di convergenza della serie di Laurent tra due singolarità
La serie di Laurent centrata in z_0 converge nella corona verde tra i raggi r e R: la circonferenza interna passa per la singolarità più vicina, quella esterna per la successiva.

Lo sviluppo dipende dalla corona: la stessa funzione ha sviluppi di Laurent diversi in corone diverse.

Esempio. f(z) = \frac{1}{z(1 - z)} ha singolarità in 0 e in 1. Con i fratti semplici f = \frac1z + \frac{1}{1 - z}.

  • Per 0 \lt |z| \lt 1: \frac{1}{1 - z} = \sum z^n, quindi f = \frac1z + 1 + z + z^2 + \dots
  • Per |z| \gt 1: \frac{1}{1 - z} = -\frac1z\cdot\frac{1}{1 - 1/z} = -\sum_{n\ge 1}z^{-n}, quindi f = -\frac{1}{z^2} - \frac{1}{z^3} - \dots

In pratica i coefficienti non si calcolano quasi mai con gli integrali: si usano le serie note (geometrica, esponenziale, seno, coseno) e le loro manipolazioni.

Classificazione delle singolarità isolate

Un punto z_0 in cui f non è olomorfa, ma lo è in un intorno bucato attorno a esso, è una singolarità isolata. Il tipo dipende dalla parte principale della serie di Laurent in 0 \lt |z - z_0| \lt r.

TipoParte principaleComportamentoEsempio in z_0 = 0
eliminabilenullaf ha limite finito\frac{\sin z}{z}
polo di ordine mfinita, fino a (z - z_0)^{-m}|f|\to\infty\frac{1}{z^2}, polo doppio
essenzialeinfinitanessun limitee^{1/z}

Singolarità eliminabile. \frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{6} + \dots: ponendo f(0) = 1 la funzione diventa olomorfa. È il limite notevole di Analisi 1 visto dall’alto.

Polo. f ha un polo di ordine m in z_0 se e solo se (z - z_0)^m f(z) ha limite finito e non nullo. Per le funzioni razionali \frac{P(z)}{Q(z)} i poli sono gli zeri del denominatore che non si semplificano con il numeratore, e l’ordine è la molteplicità.

Singolarità essenziale. e^{1/z} = 1 + \frac1z + \frac{1}{2z^2} + \dots ha infiniti termini negativi. Avvicinandosi a 0 lungo l’asse reale positivo va a +\infty, lungo il negativo a 0, lungo l’asse immaginario oscilla senza limite. Il teorema di Picard dice che in ogni intorno di una singolarità essenziale la funzione assume tutti i valori complessi, salvo al più uno: un comportamento selvaggio, molto diverso da quello dei poli.

Zeri e poli

Se f olomorfa non è identicamente nulla, i suoi zeri sono isolati: attorno a ogni zero c’è un intorno senza altri zeri. Ne segue il principio di identità: due funzioni olomorfe che coincidono su un segmento, anche piccolissimo, coincidono ovunque. È la “rigidità” delle funzioni olomorfe: sapere come si comporta un circuito lineare per le frequenze reali determina la sua funzione di trasferimento in tutto il piano complesso.

Perché i poli contano in ingegneria

La funzione di trasferimento di un circuito o di un sistema lineare è una funzione razionale H(s). I suoi poli dicono come si comporta il sistema lasciato a sé stesso: ogni polo p produce nella risposta un termine e^{pt}. La loro posizione nel piano complesso decide se il sistema è stabile, se oscilla e quanto velocemente si assesta, come vedremo nelle lezioni sulla trasformata di Laplace. Gli zeri invece dicono quali frequenze il sistema blocca: un filtro elimina banda ha zeri sull’asse immaginario alla frequenza da eliminare.

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