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Analisi Matematica 2

Serie di funzioni, serie di potenze e serie di Taylor

Convergenza puntuale e uniforme, criterio di Weierstrass, raggio di convergenza, derivazione e integrazione termine a termine, serie di Taylor e calcolo di integrali con le serie.

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In Analisi 1 le serie erano somme infinite di numeri. In Analisi 2 si sommano infinite funzioni, e il risultato è una nuova funzione. È così che le calcolatrici calcolano seni ed esponenziali, che si risolvono equazioni differenziali senza soluzione elementare e che si approssimano i segnali. In questa lezione vediamo le successioni e serie di funzioni, la convergenza uniforme, le serie di potenze e la serie di Taylor.

Convergenza puntuale e uniforme

Una successione di funzioni f_n converge puntualmente a f su un insieme I se per ogni x\in I vale f_n(x)\to f(x). È la nozione più naturale, ma è debole: le funzioni f_n(x) = x^n su [0, 1] sono tutte continue, eppure il limite puntuale vale 0 per x \lt 1 e 1 per x = 1, ed è discontinuo.

Si dice che f_n converge uniformemente a f se

    \[ \sup_{x\in I}|f_n(x) - f(x)| \to 0 \]

cioè se, da un certo n in poi, tutto il grafico di f_n sta in una “striscia” di larghezza \varepsilon attorno a quello di f, contemporaneamente per tutti gli x. Nell’esempio di x^n, per ogni n c’è un x vicino a 1 in cui x^n \gt 1/2: la convergenza non è uniforme.

Perché conta

  • Il limite uniforme di funzioni continue è continuo. Dato \varepsilon, si sceglie n con |f_n - f| \lt \varepsilon/3 ovunque, poi \delta per la continuità di f_n; allora |f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \lt \varepsilon.
  • Si può passare al limite sotto il segno di integrale su un intervallo limitato: \int_a^b f_n \to \int_a^b f, perché |\int (f_n - f)| \le (b - a)\sup|f_n - f|.
  • Per le derivate serve di più: la convergenza uniforme delle derivate f_n'.

Per una serie di funzioni \sum f_k(x) si studiano le somme parziali. Il criterio più usato è quello di Weierstrass (convergenza totale): se |f_k(x)| \le M_k per ogni x e \sum M_k converge, la serie converge uniformemente. Esempio: \sum \frac{\sin kx}{k^2} converge uniformemente su tutto \mathbb R, perché |\sin kx/k^2| \le 1/k^2.

Le serie di potenze

Una serie di potenze centrata in x_0 è

    \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k\,(x - x_0)^k \]

Teorema. Esiste R\in[0, +\infty], il raggio di convergenza, tale che la serie converge assolutamente per |x - x_0| \lt R e non converge per |x - x_0| \gt R. Agli estremi bisogna controllare a parte. Il raggio si calcola con il criterio del rapporto o della radice:

    \[ \frac1R = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \quad\text{oppure}\quad \frac1R = \limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|} \]

Esempi.

  • \sum x^k: R = 1, somma \frac{1}{1 - x}. Agli estremi non converge.
  • \sum \frac{x^k}{k}: R = 1; in x = -1 converge (serie a segni alterni), in x = 1 diverge (serie armonica). La somma è -\ln(1 - x).
  • \sum \frac{x^k}{k!}: R = +\infty, somma e^x.

All’interno dell’intervallo di convergenza la serie converge uniformemente su ogni intervallo chiuso più piccolo, e si può derivare e integrare termine a termine senza cambiare il raggio. Per esempio, integrando \frac{1}{1 + t^2} = \sum (-1)^k t^{2k} da 0 a x si ottiene

    \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots \]

e in x = 1 la serie di Leibniz: \frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots

La serie di Taylor

Se f ha derivate di ogni ordine in x_0, la sua serie di Taylor è

    \[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x - x_0)^k \]

Le somme parziali sono i polinomi di Taylor di Analisi 1. La serie converge a f se e solo se il resto R_n(x) = f(x) - T_n(x) tende a zero. Con il resto di Lagrange, R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} per qualche \xi tra x_0 e x.

La funzione seno e i suoi polinomi di Taylor di grado 1, 3, 5 e 7
Il seno (blu) e i polinomi di Taylor centrati in 0 di grado 1, 3, 5 e 7 (tratteggiati). Ogni nuovo termine allarga l’intervallo in cui l’approssimazione è buona; la serie completa converge al seno su tutta la retta.

Dimostrazione: la serie del seno converge ovunque

Tutte le derivate del seno sono \pm\sin x o \pm\cos x, quindi |f^{(n+1)}(\xi)| \le 1 e

    \[ |R_n(x)| \le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0 \quad\text{per ogni } x \]

perché il fattoriale cresce più in fretta di qualsiasi potenza. Quindi

    \[ \sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad \cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!},\qquad e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \]

Sostituendo x = i\theta nella serie dell’esponenziale e separando i termini pari e dispari si ottiene la formula di Eulero, e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.

Attenzione: non tutte le funzioni sono la somma della loro serie di Taylor. La funzione f(x) = e^{-1/x^2} (con f(0) = 0) ha tutte le derivate nulle in 0: la sua serie di Taylor è la funzione nulla, che coincide con f solo nell’origine. Le funzioni che coincidono con la loro serie di Taylor in un intorno di ogni punto si chiamano analitiche.

Un’applicazione: calcolare con le serie

Per calcolare \int_0^1 e^{-x^2}dx, che non ha una primitiva elementare, si integra la serie termine a termine:

    \[ \int_0^1 e^{-x^2}dx = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,(2k+1)} = 1 - \frac13 + \frac1{10} - \frac1{42} + \frac1{216} - \dots \approx 0{,}7468 \]

Essendo una serie a segni alterni con termini decrescenti, l’errore è minore del primo termine trascurato: con cinque termini l’errore è sotto 1/1320. Questo integrale è proporzionale alla funzione di errore erf, che descrive la probabilità di errore sui bit in una trasmissione digitale con rumore gaussiano.

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