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Analisi Matematica 2

Integrali tripli: coordinate cilindriche e sferiche

Integrazione per fili e per strati, coordinate cilindriche, coordinate sferiche con l'elemento di volume, volumi e momenti d'inerzia di cilindro e sfera, cariche distribuite.

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L’integrale triplo è l’integrale su una regione dello spazio. Serve per calcolare volumi, masse di corpi con densità variabile, cariche distribuite in un volume, baricentri e momenti d’inerzia di solidi. Le idee sono le stesse dell’integrale doppio, con una dimensione in più; la vera novità sono le coordinate cilindriche e sferiche, che rendono semplici i problemi con simmetria.

Definizione e riduzione

    \[ \iiint_V f(x, y, z)\,dx\,dy\,dz \]

si definisce con le somme su piccoli parallelepipedi, come l’integrale doppio con i rettangoli. Con f = 1 dà il volume di V; con f densità di massa, la massa.

Si calcola riducendolo a integrali più semplici, in due modi.

Per fili (integrazione per colonne): se V = \{(x, y)\in D,\ h_1(x, y) \le z \le h_2(x, y)\},

    \[ \iiint_V f\,dV = \iint_D\left(\int_{h_1(x, y)}^{h_2(x, y)}f\,dz\right)dx\,dy \]

Per strati (integrazione per sezioni): se ogni piano z = \text{cost} taglia V in una regione S(z), con z tra c e d,

    \[ \iiint_V f\,dV = \int_c^d\left(\iint_{S(z)}f\,dx\,dy\right)dz \]

Il secondo metodo è comodissimo quando le sezioni sono figure di cui si conosce l’area.

Esempio: il volume di un cono di raggio R e altezza h. La sezione a quota z è un cerchio di raggio R(1 - z/h), quindi

    \[ V = \int_0^h\pi R^2\left(1 - \frac zh\right)^2dz = \pi R^2\cdot\frac h3 = \frac13\pi R^2 h \]

Coordinate cilindriche

Sono le coordinate polari nel piano xy più la quota z:

    \[ x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,\qquad dV = r\,dr\,d\theta\,dz \]

Lo jacobiano è lo stesso delle polari, r, perché z non cambia. Sono adatte a cilindri, coni, solidi di rotazione attorno all’asse z, e a tutto ciò che si avvolge attorno a un asse: un cavo coassiale, un albero motore, un solenoide.

Esempio: il momento d’inerzia di un cilindro pieno di massa M, raggio R e altezza h, rispetto al suo asse:

    \[ I = \rho\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \rho\cdot h\cdot 2\pi\cdot\frac{R^4}{4} = \frac12 MR^2 \]

con \rho = M/(\pi R^2 h). Lo stesso valore del disco: l’altezza non conta, solo come è distribuita la massa attorno all’asse.

Coordinate sferiche

Un punto si individua con la distanza \rho dall’origine, l’angolo \varphi dall’asse z (da 0 a \pi) e l’angolo \theta della sua proiezione sul piano xy (da 0 a 2\pi), come latitudine e longitudine sulla Terra.

Coordinate sferiche di un punto nello spazio con le formule di trasformazione e l'elemento di volume
Il punto P è individuato dalla distanza \rho dall’origine, dall’angolo \varphi con l’asse z e dall’angolo \theta che la sua proiezione sul piano xy forma con l’asse x.

    \[ x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi \]

    \[ dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta \]

Attenzione: in molti testi di fisica i nomi di \theta e \varphi sono scambiati. Conta la definizione, non la lettera.

Dimostrazione dell’elemento di volume

Il “cubetto” delle coordinate sferiche ha tre lati quasi perpendicolari: d\rho in direzione radiale; \rho\,d\varphi lungo il meridiano, un arco di raggio \rho; \rho\sin\varphi\,d\theta lungo il parallelo, un arco di raggio \rho\sin\varphi, la distanza dall’asse z. Il volume è il prodotto dei tre lati, \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Lo stesso risultato si ottiene calcolando il determinante della jacobiana 3×3.

Esempio: il volume della sfera.

    \[ V = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot 2\cdot\frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3 \]

Esempio: il momento d’inerzia della sfera piena rispetto a un diametro (l’asse z). La distanza dall’asse al quadrato è x^2 + y^2 = \rho^2\sin^2\varphi:

    \[ I = \rho_m\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin^2\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho_m\cdot 2\pi\cdot\frac43\cdot\frac{R^5}{5} \]

perché \int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi = \frac43. Con \rho_m = M/(\frac43\pi R^3) si ottiene I = \frac25 MR^2, ancora un valore della tabella del corpo rigido dimostrato.

Quale sistema scegliere

Simmetria del problemaCoordinateElemento di volume
scatole, prismicartesianedx\,dy\,dz
cilindri, coni, rotazione attorno a un assecilindricher\,dr\,d\theta\,dz
sfere, campi che dipendono dalla distanza da un puntosferiche\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

In Fisica 2 questa scelta torna di continuo: il campo di una carica puntiforme si studia in coordinate sferiche, quello di un filo o di un cavo coassiale in cilindriche, quello di un condensatore piano in cartesiane.

Un esempio dall’elettromagnetismo

Una sfera di raggio R contiene una carica con densità che cresce verso l’esterno, \rho_q(r) = k\,r. La carica totale è

    \[ Q = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R k\rho\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 4\pi k\frac{R^4}{4} = \pi kR^4 \]

Per la simmetria sferica, gli integrali in \theta e \varphi danno sempre 4\pi, l’angolo solido totale: per ogni funzione che dipende solo da \rho, \iiint f\,dV = 4\pi\int_0^R f(\rho)\rho^2d\rho.

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