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Analisi Matematica 2

Integrali doppi: domini normali, cambio di variabili e coordinate polari

Definizione, formule di riduzione e scambio dell'ordine, jacobiano e cambio di variabili, coordinate polari, l'integrale di Gauss, baricentri e momenti d'inerzia.

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L’integrale di Analisi 1 calcola l’area sotto un grafico. L’integrale doppio fa lo stesso un piano più in su: calcola il volume sotto una superficie, ma anche la massa di una lamina, la carica su una piastra, il baricentro di una sezione o il momento d’inerzia di una trave. In questa lezione vediamo come si definisce, come si calcola riducendolo a due integrali semplici e come si cambiano le variabili, con le coordinate polari.

La definizione

Si divide la regione D del piano in tanti rettangolini di area \Delta A_k, si sceglie un punto in ciascuno e si forma la somma \sum f(x_k, y_k)\,\Delta A_k. Se, rendendo i rettangolini sempre più piccoli, le somme tendono a un limite, quello è l’integrale doppio:

    \[ \iint_D f(x, y)\,dx\,dy \]

Con f \ge 0 è il volume del solido tra la regione D e il grafico di f. Con f = 1 è l’area di D. Le funzioni continue su regioni limitate con un bordo regolare sono sempre integrabili, e valgono linearità, monotonia e additività rispetto alla regione.

Il calcolo: i domini normali

L’idea per calcolarlo è tagliare il solido a fette. Una regione è normale rispetto all’asse x se si descrive come

    \[ D = \{(x, y) : a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\} \]

cioè se ogni retta verticale la taglia in un solo segmento.

Dominio normale rispetto all'asse x compreso tra due curve con una striscia verticale
Un dominio normale: per ogni x tra a e b, y va da g_1(x) a g_2(x). L’integrale doppio si calcola sommando prima lungo la striscia verticale (in y) e poi sommando tutte le strisce (in x).

Formula di riduzione (teorema di Fubini):

    \[ \iint_D f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x, y)\,dy\right)dx \]

L’integrale interno, fatto con x fissata, dà l’area della fetta verticale; integrando le aree delle fette si ottiene il volume. È il principio di Cavalieri. Allo stesso modo si integra prima in x e poi in y se il dominio è normale rispetto all’asse y.

Esempio. \iint_D xy\,dx\,dy sul triangolo con vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1), cioè 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x:

    \[ \int_0^1\left(\int_0^x xy\,dy\right)dx = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,dx = \frac18 \]

Scambiare l’ordine di integrazione

A volte un ordine porta a un integrale impossibile e l’altro a uno facile. \int_0^1\int_y^1 e^{x^2}dx\,dy non si calcola così com’è, perché e^{x^2} non ha primitiva elementare. Il dominio è lo stesso triangolo di prima, visto come 0 \le y \le x, 0 \le x \le 1. Scambiando:

    \[ \int_0^1\left(\int_0^x e^{x^2}dy\right)dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}dx = \frac{e - 1}{2} \]

Il cambio di variabili

Se si passa a nuove variabili (u, v) con x = x(u, v), y = y(u, v), i rettangolini du\,dv diventano parallelogrammi curvilinei di area |\det J|\,du\,dv, dove J è la matrice jacobiana della trasformazione. È il determinante come fattore di dilatazione delle aree, visto in Geometria e Algebra:

    \[ \iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v))\,|\det J(u, v)|\,du\,dv \]

Le coordinate polari

Con x = r\cos\theta, y = r\sin\theta:

    \[ J = \begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix},\qquad \det J = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r \]

    \[ dx\,dy = r\,dr\,d\theta \]

Elemento d'area in coordinate polari, un settore di corona circolare
Il rettangolino delle coordinate polari è un pezzo di corona circolare con lati dr e r\,d\theta: la sua area è r\,dr\,d\theta. Il fattore r spiega perché le regioni lontane dall’origine pesano di più.

Le coordinate polari semplificano tutto ciò che ha simmetria circolare: dischi, corone, settori, e funzioni che dipendono da x^2 + y^2.

Esempio: l’area del cerchio. \int_0^{2\pi}\int_0^R r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{R^2}{2} = \pi R^2.

L’integrale di Gauss

I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx non si calcola con le primitive. Il trucco è elevarlo al quadrato e passare al piano:

    \[ I^2 = \iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2 + y^2)}dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac12 = \pi \]

quindi I = \sqrt\pi. È il risultato che normalizza la distribuzione gaussiana, usata ovunque, dalla statistica al rumore termico nei circuiti.

Applicazioni fisiche

Per una lamina di densità superficiale \rho(x, y):

  • massa M = \iint_D\rho\,dA;
  • baricentro x_G = \frac1M\iint_D x\rho\,dA, y_G = \frac1M\iint_D y\rho\,dA;
  • momento d’inerzia rispetto all’origine I_0 = \iint_D(x^2 + y^2)\rho\,dA.

Esempio. Il momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R (densità \rho = M/\pi R^2): I_0 = \rho\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2\cdot r\,dr\,d\theta = \rho\cdot 2\pi\frac{R^4}{4} = \frac12 MR^2. È il valore della tabella della lezione di Fisica 1 sul corpo rigido, ora dimostrato.

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