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Analisi Matematica 2

Curve, integrali curvilinei e campi conservativi

Curve parametriche e lunghezza, integrale di una funzione e lavoro di un campo, campi conservativi e potenziale, campi irrotazionali, il controesempio del filo e come si trova il potenziale.

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Una curva nello spazio è la traiettoria di un punto che si muove. Lungo una curva si possono integrare due cose diverse: una funzione scalare (per calcolare una lunghezza o una massa) oppure un campo vettoriale (per calcolare un lavoro). Questa lezione introduce entrambi gli integrali e arriva ai campi conservativi e al potenziale, che in Fisica 2 diventeranno il potenziale elettrico.

Curve parametriche

Una curva è una funzione \mathbf r: [a, b]\to\mathbb R^3, \mathbf r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Il vettore \mathbf r'(t) è tangente alla curva e, se t è il tempo, è la velocità. La curva è regolare se \mathbf r' è continua e mai nulla.

Esempi. La circonferenza \mathbf r(t) = (R\cos t, R\sin t), t\in[0, 2\pi]. L’elica \mathbf r(t) = (\cos t, \sin t, ct), la forma di una molla e di una filettatura. Il grafico di y = f(x) è la curva \mathbf r(t) = (t, f(t)).

La lunghezza di una curva

Approssimando la curva con una spezzata e passando al limite, la lunghezza è l’integrale della velocità scalare:

    \[ L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt \]

Esempio. Un giro di elica (\cos t, \sin t, ct): |\mathbf r'| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + c^2} = \sqrt{1 + c^2}, quindi L = 2\pi\sqrt{1 + c^2}. È l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti 2\pi (la circonferenza) e 2\pi c (il passo): srotolando il cilindro, l’elica diventa una retta.

La lunghezza non dipende da come si parametrizza la curva: percorrerla più velocemente o più lentamente non cambia la strada.

Integrale curvilineo di una funzione

Per una funzione scalare f (per esempio la densità lineare di un filo):

    \[ \int_\gamma f\,ds = \int_a^b f(\mathbf r(t))\,|\mathbf r'(t)|\,dt \]

dove ds = |\mathbf r'|\,dt è l’elemento di lunghezza. Con f = 1 si ritrova la lunghezza; con f densità si ottiene la massa del filo. Non dipende dal verso di percorrenza.

Integrale curvilineo di un campo vettoriale: il lavoro

Se \mathbf F è una forza, il lavoro compiuto lungo la curva \gamma è

    \[ \int_\gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt \]

Conta solo la componente di \mathbf F tangente alla curva. A differenza del caso precedente, cambia segno se si inverte il verso.

Una curva da A a B in un campo vettoriale con i vettori del campo e della tangente
Il campo \mathbf F (frecce grigie e rosse) e la curva \gamma da A a B con i vettori tangenti d\mathbf r (verdi). L’integrale curvilineo somma, punto per punto, il prodotto scalare tra campo e spostamento: dove sono concordi il contributo è positivo, dove sono opposti è negativo.

Esempio. \mathbf F = (-y, x) lungo la circonferenza unitaria in senso antiorario: \mathbf r' = (-\sin t, \cos t), \mathbf F(\mathbf r) = (-\sin t, \cos t), prodotto scalare 1, integrale 2\pi. Il campo “gira” nello stesso verso della curva e compie lavoro positivo lungo tutto il giro.

Campi conservativi

Un campo \mathbf F è conservativo se esiste una funzione U, il potenziale, tale che \mathbf F = \nabla U. (In fisica si usa spesso il segno opposto, \mathbf F = -\nabla V, con V energia potenziale.)

Teorema. Se \mathbf F = \nabla U, allora per ogni curva da A a B

    \[ \int_\gamma\mathbf F\cdot d\mathbf r = U(B) - U(A) \]

Dimostrazione

Per la regola della catena \frac{d}{dt}U(\mathbf r(t)) = \nabla U(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t). Quindi l’integrale è \int_a^b\frac{d}{dt}U(\mathbf r(t))\,dt = U(\mathbf r(b)) - U(\mathbf r(a)), per il teorema fondamentale del calcolo.

Ne seguono tre proprietà equivalenti (in un dominio connesso):

  1. \mathbf F ha un potenziale;
  2. l’integrale tra due punti non dipende dal percorso;
  3. l’integrale lungo ogni curva chiusa è zero.

Il campo (-y, x) dell’esempio precedente non è conservativo: lungo un giro chiuso ha dato 2\pi, non zero.

Come si riconosce un campo conservativo

Se \mathbf F = (P, Q) = \nabla U, allora P = U_x, Q = U_y, e per il teorema di Schwarz P_y = U_{xy} = U_{yx} = Q_x. La condizione

    \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \]

(campo irrotazionale; in tre dimensioni \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0) è quindi necessaria. È anche sufficiente se il dominio è semplicemente connesso, cioè senza “buchi” che una curva chiusa possa circondare.

Il controesempio classico. \mathbf F = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right) sul piano senza l’origine è irrotazionale, ma il suo integrale sulla circonferenza unitaria vale 2\pi. Il buco nell’origine rompe l’equivalenza. È, a meno di costanti, il campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente: il suo integrale lungo una curva chiusa conta quante volte la curva gira attorno al filo, ed è la legge di Ampère.

Come si trova il potenziale

Esempio. \mathbf F = (2xy + 1, x^2 + 3y^2). Verifica: P_y = 2x = Q_x, e il dominio è tutto il piano. Integrando P in x: U = x^2 y + x + h(y). Derivando in y e confrontando con Q: x^2 + h'(y) = x^2 + 3y^2, quindi h = y^3. Il potenziale è U = x^2y + x + y^3, e il lavoro da (0, 0) a (1, 2) vale U(1, 2) - U(0, 0) = 2 + 1 + 8 = 11, qualunque sia il percorso.

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