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Analisi Matematica 2

Massimi e minimi vincolati: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

L'idea geometrica della tangenza, dimostrazione della condizione sui gradienti, la lagrangiana, la scatola di volume massimo, significato del moltiplicatore e più vincoli.

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Spesso non si cerca il massimo di una funzione ovunque, ma solo tra i punti che rispettano un vincolo: la scatola di volume massimo con una certa quantità di cartone, la potenza massima con una corrente limitata, la distanza minima da una curva. Sono i problemi di estremo vincolato, e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange li risolve con un’idea geometrica elegante.

Il problema

Si cercano massimi e minimi di f(x, y) tra i punti che soddisfano il vincolo g(x, y) = 0. Se si riesce a ricavare una variabile dal vincolo (per esempio y = 1 - x), si sostituisce e si ottiene un problema di una variabile. Ma spesso non si può, o non conviene: un vincolo come x^2 + y^2 = 1 dà due rami, e in tre variabili le cose peggiorano.

L’idea geometrica

Immaginiamo di camminare lungo la curva del vincolo g = 0 guardando le curve di livello di f. Finché la nostra curva attraversa le curve di livello, possiamo spostarci verso valori più alti o più bassi di f. Nel punto di massimo o di minimo vincolato non è più possibile: lì la curva del vincolo è tangente a una curva di livello di f.

Curve di livello di f tangenti al vincolo nel punto di massimo, con i gradienti paralleli
Massimizzare f = x + y sulla circonferenza g = x^2 + y^2 - 1 = 0. Le rette tratteggiate sono le curve di livello di f; quella rossa è l’ultima che tocca ancora la circonferenza, ed è tangente a essa. In quel punto \nabla f e \nabla g sono paralleli.

Due curve tangenti hanno la stessa retta normale. I gradienti sono perpendicolari alle rispettive curve di livello, quindi nel punto di tangenza \nabla f e \nabla g sono paralleli:

    \[ \nabla f(\mathbf x_0) = \lambda\,\nabla g(\mathbf x_0) \]

per qualche numero \lambda, il moltiplicatore di Lagrange.

Dimostrazione

Supponiamo \nabla g(\mathbf x_0) \ne \mathbf 0. Allora, per il teorema delle funzioni implicite, vicino a \mathbf x_0 il vincolo è una curva liscia che si può parametrizzare con \mathbf r(t), \mathbf r(0) = \mathbf x_0. La funzione f(\mathbf r(t)) ha un estremo in t = 0, quindi per la regola della catena \nabla f(\mathbf x_0)\cdot\mathbf r'(0) = 0: il gradiente di f è perpendicolare alla tangente al vincolo. Ma anche \nabla g(\mathbf x_0) lo è, perché g(\mathbf r(t)) = 0 per ogni t e quindi \nabla g\cdot\mathbf r'(0) = 0. Nel piano due vettori perpendicolari alla stessa direzione sono paralleli.

Il metodo

Si definisce la lagrangiana

    \[ \mathcal L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda\,g(x, y) \]

e se ne cercano i punti critici, cioè si risolve il sistema

    \[ f_x = \lambda g_x,\qquad f_y = \lambda g_y,\qquad g(x, y) = 0 \]

Tre equazioni in tre incognite. Tra le soluzioni ci sono tutti gli estremi vincolati (insieme agli eventuali punti in cui \nabla g = \mathbf 0, da controllare a parte). Se il vincolo è un insieme compatto, come una circonferenza, il massimo e il minimo esistono per Weierstrass: basta confrontare i valori di f nei candidati.

Esempio della figura. f = x + y, g = x^2 + y^2 - 1: 1 = 2\lambda x, 1 = 2\lambda y, quindi x = y, e dal vincolo x = y = \pm\frac{1}{\sqrt2}. Massimo \sqrt2 in \left(\frac1{\sqrt2}, \frac1{\sqrt2}\right), minimo -\sqrt2 nel punto opposto.

Esempio: la scatola di volume massimo

Una scatola chiusa a forma di parallelepipedo deve avere superficie S = 2(xy + yz + zx) = 6 m². Quale volume V = xyz è il massimo? Con la lagrangiana in tre variabili:

    \[ yz = \lambda\cdot 2(y + z),\qquad xz = \lambda\cdot 2(x + z),\qquad xy = \lambda\cdot 2(x + y) \]

Moltiplicando la prima per x e la seconda per y: xyz = 2\lambda(xy + xz) = 2\lambda(xy + yz), quindi xz = yz e x = y. Allo stesso modo y = z. La scatola migliore è un cubo: 6x^2 = 6, lato 1 m, volume 1 m³.

Il significato del moltiplicatore

\lambda non è solo un’incognita di servizio. Se il vincolo è g(x, y) = c, al variare di c cambia anche il valore ottimo f^*(c), e vale

    \[ \frac{df^*}{dc} = \lambda \]

Il moltiplicatore dice di quanto migliora l’ottimo se si allenta il vincolo di una unità. In economia si chiama “prezzo ombra” della risorsa; in fisica, nei problemi con vincoli meccanici, i moltiplicatori sono le reazioni vincolari.

Più vincoli e il caso con disuguaglianze

Con più vincoli g_1 = 0, \dots, g_k = 0 si usa un moltiplicatore per ciascuno: \nabla f = \lambda_1\nabla g_1 + \dots + \lambda_k\nabla g_k. Per esempio, gli estremi di una funzione su una curva nello spazio, intersezione di due superfici.

Quando il vincolo è una disuguaglianza, g \le 0, come nella ricerca degli estremi assoluti su un disco, si studiano separatamente i punti interni (gradiente nullo) e la frontiera g = 0 (Lagrange). La generalizzazione sistematica sono le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker, alla base dell’ottimizzazione numerica usata nella progettazione dei circuiti e nell’apprendimento automatico.

Un esempio elettronico: il massimo trasferimento di potenza

Un generatore di tensione V con resistenza interna R_s alimenta un carico R_L. La potenza sul carico è P = \frac{V^2 R_L}{(R_s + R_L)^2}. Qui il problema è libero in una variabile: dP/dR_L = 0 dà R_L = R_s, con potenza massima V^2/(4R_s). Se invece la corrente non può superare un valore massimo, il vincolo diventa attivo e l’ottimo si sposta sul bordo della regione ammessa: è esattamente la situazione in cui servono i metodi di questa lezione.

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