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Analisi Matematica 2

Flusso e teoremi di Green, della divergenza e di Stokes

Divergenza e rotore, teorema di Green con dimostrazione e il planimetro, superfici e flusso, teorema della divergenza, teorema di Stokes e il legame con le equazioni di Maxwell.

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Questa lezione chiude il calcolo integrale in più variabili con i tre grandi teoremi: Green, Gauss (della divergenza) e Stokes. Tutti dicono la stessa cosa in forme diverse: l’integrale di una “derivata” su una regione è uguale all’integrale della funzione sul bordo della regione, come nel teorema fondamentale del calcolo. Sono il linguaggio delle equazioni di Maxwell, quindi di tutta l’elettronica.

Gli operatori differenziali

Per un campo vettoriale \mathbf F = (F_1, F_2, F_3) si definiscono, con il simbolo \nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z):

  • la divergenza \nabla\cdot\mathbf F = \partial_x F_1 + \partial_y F_2 + \partial_z F_3, uno scalare: misura quanto il campo “esce” da un punto, come una sorgente;
  • il rotore \nabla\times\mathbf F, un vettore calcolato come un prodotto vettoriale: misura quanto il campo “gira” attorno a un punto.

Il campo (x, y, z) ha divergenza 3 e rotore nullo: esce da ogni punto senza girare. Il campo (-y, x, 0) ha divergenza nulla e rotore (0, 0, 2): gira attorno all’asse z senza sorgenti.

Il teorema di Green nel piano

Sia D una regione del piano con bordo \partial D percorso in senso antiorario. Per un campo (P, Q) con derivate continue:

    \[ \oint_{\partial D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy \]

Dimostrazione (per la parte con P)

Sia D normale rispetto all’asse x: a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x). Integrando prima in y:

    \[ -\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,dy = -\int_a^b\big[P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))\big]\,dx \]

Il bordo è fatto dalla curva inferiore percorsa da sinistra a destra, che dà \int_a^b P(x, g_1(x))\,dx, dalla curva superiore percorsa da destra a sinistra, che dà -\int_a^b P(x, g_2(x))\,dx, e da eventuali tratti verticali su cui dx = 0. I due membri coincidono. La parte con Q si dimostra allo stesso modo con il dominio normale rispetto a y.

Conseguenza: l’area con un integrale di bordo. Con P = -y/2, Q = x/2 il secondo membro è l’area di D:

    \[ \text{Area}(D) = \frac12\oint_{\partial D}(x\,dy - y\,dx) \]

È il principio del planimetro, lo strumento meccanico che misura un’area percorrendone solo il contorno, e dell’algoritmo con cui i programmi CAD calcolano l’area di un poligono dalle coordinate dei vertici.

Superfici e flusso

Una superficie si descrive con due parametri, \mathbf r(u, v). I vettori \mathbf r_u e \mathbf r_v sono tangenti, e il loro prodotto vettoriale è normale alla superficie, con modulo pari all’area del parallelogrammino du\,dv:

    \[ dS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv,\qquad \mathbf n = \frac{\mathbf r_u\times\mathbf r_v}{|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|} \]

Il flusso di un campo attraverso una superficie orientata è

    \[ \Phi = \iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS \]

e misura quanto campo attraversa la superficie, contando solo la componente perpendicolare. Se \mathbf F è la velocità di un fluido, il flusso è la portata, in m³/s.

Esempio. Il flusso di \mathbf F = (x, y, z) attraverso la sfera di raggio R, con normale uscente: sulla sfera \mathbf n = (x, y, z)/R, quindi \mathbf F\cdot\mathbf n = R e \Phi = R\cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3.

Il teorema della divergenza (di Gauss)

Sia V un solido limitato dalla superficie chiusa \partial V, con normale \mathbf n uscente. Allora

    \[ \iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV \]

Volume racchiuso da una superficie chiusa con le normali uscenti e un campo che esce da una sorgente
Il flusso uscente da una superficie chiusa \partial V (frecce rosse: normali uscenti) è uguale alla somma delle sorgenti contenute nel volume V, cioè all’integrale della divergenza. Qui il campo nasce da una sorgente all’interno ed esce da tutte le parti.

L’idea: si divide V in tanti cubetti. Per un cubetto il flusso uscente, calcolato faccia per faccia, è circa \nabla\cdot\mathbf F per il volume del cubetto. Sommando su tutti i cubetti, il flusso attraverso le facce interne si cancella (ciò che esce da un cubetto entra nel vicino) e resta solo il flusso attraverso la superficie esterna.

Verifica sull’esempio. \nabla\cdot(x, y, z) = 3, e \iiint 3\,dV = 3\cdot\frac43\pi R^3 = 4\pi R^3. Coincide con il flusso calcolato direttamente.

In Fisica 2 diventa la legge di Gauss: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica contenuta, \oint\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS = Q/\varepsilon_0, e in forma locale \nabla\cdot\mathbf E = \rho/\varepsilon_0. Il teorema della divergenza è il ponte tra le due forme.

Il teorema di Stokes

Sia S una superficie con bordo \partial S, orientati in modo coerente (regola della mano destra: con il pollice lungo \mathbf n, le dita indicano il verso del bordo). Allora

    \[ \oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS \]

La circuitazione del campo lungo il bordo è uguale al flusso del rotore attraverso la superficie. Se S è piana nel piano xy, è esattamente il teorema di Green. Conseguenza importante: il flusso del rotore dipende solo dal bordo, non dalla superficie scelta.

Ne segue anche la caratterizzazione dei campi conservativi della lezione sugli integrali curvilinei: se \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0 in un dominio semplicemente connesso, ogni curva chiusa è il bordo di una superficie nel dominio, e la circuitazione è zero.

In Fisica 2 diventa la legge di Faraday: la tensione indotta lungo una spira, \oint\mathbf E\cdot d\mathbf r, è uguale a meno la derivata del flusso magnetico attraverso la spira; in forma locale \nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t. È il principio di funzionamento di trasformatori, generatori e ricarica wireless.

Il quadro d’insieme

TeoremaRegioneBordo
fondamentale del calcolosegmento [a, b]due punti
campi conservativicurvadue estremi
Greenregione pianacurva chiusa
Stokessuperficiecurva chiusa
Gaussvolumesuperficie chiusa

In ogni riga, l’integrale di una derivata (gradiente, rotore, divergenza) sulla regione è uguale all’integrale della funzione sul bordo. In matematica avanzata tutti questi risultati sono un unico teorema, il teorema di Stokes generalizzato.

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