Vai al contenuto
Geometria e Algebra

Prodotto scalare e ortogonalità: proiezioni, Gram-Schmidt e teorema spettrale

Prodotto scalare e norma, Pitagora, proiezione ortogonale e minimi quadrati, basi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt, matrici ortogonali e teorema spettrale.

5 min di lettura 0 commenti

Negli spazi vettoriali astratti non ci sono né lunghezze né angoli. Per averli serve una struttura in più, il prodotto scalare. Con il prodotto scalare arrivano l’ortogonalità, le proiezioni, le basi ortonormali e uno dei teoremi più belli del corso, il teorema spettrale. Sono gli strumenti dietro i minimi quadrati, la serie di Fourier e la compressione JPEG.

Prodotto scalare e norma

Un prodotto scalare su uno spazio reale V è un’operazione \langle\mathbf u, \mathbf v\rangle che dà un numero ed è simmetrica, lineare in ciascun argomento e definita positiva: \langle\mathbf v, \mathbf v\rangle \gt 0 per ogni \mathbf v \ne \mathbf 0. Quello standard di \mathbb R^n è \mathbf u\cdot\mathbf v = \sum u_i v_i. Sulle funzioni continue in [a, b] un prodotto scalare è \langle f, g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx.

La norma è \|\mathbf v\| = \sqrt{\langle\mathbf v, \mathbf v\rangle}, e valgono la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e quella triangolare (dimostrate nella lezione sui vettori, con un argomento che usa solo queste proprietà). Due vettori sono ortogonali se \langle\mathbf u, \mathbf v\rangle = 0.

Teorema di Pitagora

Se \mathbf u\perp\mathbf v, allora \|\mathbf u + \mathbf v\|^2 = \langle\mathbf u + \mathbf v, \mathbf u + \mathbf v\rangle = \|\mathbf u\|^2 + 2\langle\mathbf u, \mathbf v\rangle + \|\mathbf v\|^2 = \|\mathbf u\|^2 + \|\mathbf v\|^2. In qualunque spazio con un prodotto scalare, anche fatto di funzioni.

Vettori ortogonali non nulli sono indipendenti. Se \sum\lambda_i\mathbf v_i = \mathbf 0, facendo il prodotto scalare con \mathbf v_j restano solo \lambda_j\|\mathbf v_j\|^2 = 0, quindi \lambda_j = 0.

La proiezione ortogonale

Proiezione ortogonale di un vettore v sulla retta generata da u
La proiezione di \mathbf v sulla direzione di \mathbf u è il vettore di quella retta più vicino a \mathbf v. La differenza \mathbf v - \operatorname{proj}_{\mathbf u}\mathbf v è perpendicolare a \mathbf u.

Dimostrazione della formula

Cerchiamo il multiplo c\,\mathbf u tale che \mathbf v - c\,\mathbf u sia ortogonale a \mathbf u:

    \[ \langle\mathbf v - c\,\mathbf u, \mathbf u\rangle = 0 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{\langle\mathbf v, \mathbf u\rangle}{\langle\mathbf u, \mathbf u\rangle},\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf u}\mathbf v = \frac{\langle\mathbf v, \mathbf u\rangle}{\langle\mathbf u, \mathbf u\rangle}\,\mathbf u \]

È anche il punto più vicino: per ogni altro multiplo d\,\mathbf u, il vettore \mathbf v - d\,\mathbf u è la somma di \mathbf v - c\,\mathbf u e (c - d)\,\mathbf u, che sono ortogonali, e per Pitagora \|\mathbf v - d\,\mathbf u\|^2 = \|\mathbf v - c\,\mathbf u\|^2 + (c - d)^2\|\mathbf u\|^2 \ge \|\mathbf v - c\,\mathbf u\|^2.

Lo stesso vale per la proiezione su un sottospazio W: il punto di W più vicino a \mathbf v è quello per cui la differenza è ortogonale a tutto W. È il principio dei minimi quadrati: quando un sistema A\mathbf x = \mathbf b non ha soluzione (troppe equazioni, dati con rumore), si cerca \mathbf x tale che A\mathbf x sia la proiezione di \mathbf b sullo spazio delle colonne. La condizione di ortogonalità dà le equazioni normali A^TA\,\mathbf x = A^T\mathbf b. È così che si calcola la retta di regressione tra misure sperimentali.

Basi ortonormali

Una base è ortonormale se i suoi vettori hanno norma 1 e sono ortogonali a due a due. Il vantaggio è enorme: le coordinate si calcolano con un prodotto scalare, senza risolvere sistemi.

    \[ \mathbf v = \sum_i\langle\mathbf v, \mathbf e_i\rangle\,\mathbf e_i \]

Infatti, facendo il prodotto scalare di \mathbf v = \sum c_i\mathbf e_i con \mathbf e_j, resta solo c_j. La serie di Fourier è esattamente questo, in uno spazio di funzioni: i seni e coseni sono una base ortogonale rispetto a \int f g, e i coefficienti di Fourier sono prodotti scalari.

Il procedimento di Gram-Schmidt

Da una base qualsiasi \mathbf v_1, \dots, \mathbf v_n si costruisce una base ortonormale dello stesso spazio togliendo a ogni vettore le sue proiezioni sui precedenti:

    \[ \mathbf u_1 = \mathbf v_1,\qquad \mathbf u_k = \mathbf v_k - \sum_{j \lt k}\frac{\langle\mathbf v_k, \mathbf u_j\rangle}{\langle\mathbf u_j, \mathbf u_j\rangle}\,\mathbf u_j,\qquad \mathbf e_k = \frac{\mathbf u_k}{\|\mathbf u_k\|} \]

Esempio. \mathbf v_1 = (1, 1, 0), \mathbf v_2 = (1, 0, 1). \mathbf u_1 = (1, 1, 0). \langle\mathbf v_2, \mathbf u_1\rangle = 1, \langle\mathbf u_1, \mathbf u_1\rangle = 2, quindi \mathbf u_2 = (1, 0, 1) - \tfrac12(1, 1, 0) = (\tfrac12, -\tfrac12, 1). Verifica: \mathbf u_1\cdot\mathbf u_2 = \tfrac12 - \tfrac12 + 0 = 0. Normalizzando: \mathbf e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1, 1, 0), \mathbf e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1, -1, 2).

Matrici ortogonali

Una matrice quadrata Q è ortogonale se le sue colonne sono una base ortonormale, cioè se Q^TQ = I. Allora Q^{-1} = Q^T: l’inversa costa quanto una trasposta. Le matrici ortogonali conservano prodotti scalari, lunghezze e angoli, \langle Q\mathbf u, Q\mathbf v\rangle = \mathbf u^TQ^TQ\mathbf v = \langle\mathbf u, \mathbf v\rangle: sono le rotazioni (\det Q = 1) e le riflessioni (\det Q = -1).

Il teorema spettrale

Teorema. Ogni matrice reale simmetrica ha autovalori reali ed è diagonalizzabile con una base ortonormale di autovettori: esiste Q ortogonale tale che

    \[ Q^TAQ = D \]

Un passaggio chiave della dimostrazione è facile da vedere: autovettori di autovalori distinti sono ortogonali. Se A\mathbf u = \lambda\mathbf u e A\mathbf v = \mu\mathbf v, usando A = A^T:

    \[ \lambda\langle\mathbf u, \mathbf v\rangle = \langle A\mathbf u, \mathbf v\rangle = \langle\mathbf u, A\mathbf v\rangle = \mu\langle\mathbf u, \mathbf v\rangle \]

quindi (\lambda - \mu)\langle\mathbf u, \mathbf v\rangle = 0 e, se \lambda \ne \mu, \langle\mathbf u, \mathbf v\rangle = 0. Lo si vede nella matrice \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix} della lezione sugli autovalori: i suoi autovettori (1, 1) e (1, -1) sono perpendicolari.

Il teorema spettrale ha conseguenze ovunque: le direzioni principali di sforzo in una trave, gli assi principali d’inerzia di un corpo rigido, l’analisi delle componenti principali (PCA) che riduce i dati alle direzioni di massima varianza, e la classificazione delle coniche e delle quadriche che vedremo nella lezione di geometria del piano.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x