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Geometria e Algebra

Spazi vettoriali: sottospazi, indipendenza lineare, basi e dimensione

Definizione ed esempi, sottospazi, combinazioni lineari e generatori, dipendenza lineare, basi e coordinate, dimensione e formula di Grassmann.

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Finora abbiamo lavorato con vettori del piano e dello spazio. L’algebra lineare fa un passo di astrazione: prende le proprietà della somma di vettori e del prodotto per un numero, e chiama “spazio vettoriale” qualsiasi insieme che le rispetti. Così gli stessi teoremi valgono per le terne di numeri, per i polinomi, per le matrici e per i segnali. In questa lezione vediamo spazi e sottospazi, combinazioni lineari, dipendenza lineare, basi e dimensione.

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale reale è un insieme V con una somma \mathbf u + \mathbf v e un prodotto per scalari \lambda\mathbf v che soddisfano le proprietà a cui siamo abituati: la somma è associativa e commutativa, esiste il vettore nullo \mathbf 0, ogni vettore ha l’opposto, e valgono \lambda(\mathbf u + \mathbf v) = \lambda\mathbf u + \lambda\mathbf v, (\lambda + \mu)\mathbf v = \lambda\mathbf v + \mu\mathbf v, \lambda(\mu\mathbf v) = (\lambda\mu)\mathbf v, 1\,\mathbf v = \mathbf v.

Esempi:

  • \mathbb R^n, le n-uple di numeri reali;
  • \mathbb R[x]_{\le d}, i polinomi di grado al massimo d;
  • M_{m,n}(\mathbb R), le matrici m\times n;
  • le funzioni continue su un intervallo, con la somma punto per punto. I segnali di un circuito vivono in spazi di questo tipo.

Sottospazi

Un sottoinsieme W di V è un sottospazio se è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni. Basta controllare tre cose: \mathbf 0\in W; se \mathbf u, \mathbf v\in W allora \mathbf u + \mathbf v\in W; se \mathbf v\in W allora \lambda\mathbf v\in W.

Sottospazi di R3: un piano e una retta per l'origine, e un piano traslato che non è un sottospazio
In \mathbb R^3 i sottospazi sono l’origine, le rette e i piani passanti per l’origine (L e W) e tutto lo spazio. Il piano traslato W + \mathbf v_0 non è un sottospazio: non contiene \mathbf 0.

Esempi. Le soluzioni di un sistema omogeneo A\mathbf x = \mathbf 0 formano un sottospazio di \mathbb R^n: se A\mathbf u = \mathbf 0 e A\mathbf v = \mathbf 0 allora A(\mathbf u + \mathbf v) = \mathbf 0 e A(\lambda\mathbf u) = \mathbf 0. Le soluzioni di un sistema non omogeneo invece non lo sono (non contengono \mathbf 0): sono un sottospazio traslato, come il piano grigio della figura. Il piano x + y + z = 0 è un sottospazio, il piano x + y + z = 1 no.

Combinazioni lineari e generatori

Una combinazione lineare dei vettori \mathbf v_1, \dots, \mathbf v_k è un vettore del tipo \lambda_1\mathbf v_1 + \dots + \lambda_k\mathbf v_k. L’insieme di tutte le combinazioni lineari si chiama sottospazio generato e si scrive \langle\mathbf v_1, \dots, \mathbf v_k\rangle (o span). È il più piccolo sottospazio che contiene quei vettori. Due vettori non paralleli di \mathbb R^3 generano un piano per l’origine; tre vettori non complanari generano tutto \mathbb R^3.

Dipendenza e indipendenza lineare

I vettori \mathbf v_1, \dots, \mathbf v_k sono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli:

    \[ \lambda_1\mathbf v_1 + \dots + \lambda_k\mathbf v_k = \mathbf 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0 \]

Altrimenti sono dipendenti, e almeno uno di loro si può scrivere come combinazione degli altri: è “superfluo”, non aggiunge direzioni nuove.

Come si verifica. Si mettono i vettori come colonne di una matrice e si risolve il sistema omogeneo: sono indipendenti se l’unica soluzione è quella nulla, cioè se la forma a scala ha un pivot in ogni colonna. In \mathbb R^n, n vettori sono indipendenti se e solo se il determinante della matrice che li ha come colonne è diverso da zero.

Esempio. (1, 2, 3), (0, 1, 1), (2, 5, 7): il determinante vale 1\cdot(7 - 5) - 0 + 2\cdot(2 - 3) = 2 - 2 = 0. Sono dipendenti, e infatti (2, 5, 7) = 2\,(1, 2, 3) + (0, 1, 1).

Basi e coordinate

Una base di V è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano V. Ogni vettore si scrive allora come combinazione dei vettori della base in un solo modo: i coefficienti sono le sue coordinate.

Dimostrazione: l’unicità delle coordinate

Se \mathbf v = \sum\lambda_i\mathbf b_i = \sum\mu_i\mathbf b_i, sottraendo si ottiene \sum(\lambda_i - \mu_i)\mathbf b_i = \mathbf 0. Per l’indipendenza tutti i coefficienti sono zero, quindi \lambda_i = \mu_i per ogni i. È qui che serve l’indipendenza: con vettori dipendenti lo stesso vettore avrebbe infinite scritture.

Basi canoniche: in \mathbb R^n i vettori \mathbf e_1 = (1, 0, \dots, 0), …, \mathbf e_n; nei polinomi di grado al massimo d i monomi 1, x, x^2, \dots, x^d. Le coordinate del polinomio 3 - x + 2x^2 sono (3, -1, 2): con la base, un polinomio diventa una terna di numeri, e si può trattare come un vettore di \mathbb R^3.

La dimensione

Teorema. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Questo numero è la dimensione di V, \dim V.

L’idea della dimostrazione (lemma dello scambio di Steinitz): se V è generato da m vettori, allora qualsiasi insieme di più di m vettori è dipendente. Applicandolo nei due sensi a due basi, hanno lo stesso numero di elementi.

\dim\mathbb R^n = n, \dim\mathbb R[x]_{\le d} = d + 1, \dim M_{m,n} = mn. Lo spazio di tutte le funzioni continue invece ha dimensione infinita.

Conseguenze pratiche, in uno spazio di dimensione n:

  • più di n vettori sono sempre dipendenti;
  • meno di n vettori non possono generare tutto lo spazio;
  • n vettori indipendenti formano automaticamente una base (e così pure n generatori).

Somma e intersezione di sottospazi

Se U e W sono sottospazi, anche U\cap W e U + W = \{\mathbf u + \mathbf w\} lo sono. La formula di Grassmann lega le loro dimensioni:

    \[ \dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W) \]

Due piani distinti per l’origine in \mathbb R^3: \dim(U + W) = 3, quindi \dim(U\cap W) = 2 + 2 - 3 = 1. Si intersecano in una retta, come ci si aspetta. Se U\cap W = \{\mathbf 0\} la somma si dice diretta, U\oplus W, e ogni vettore della somma si scompone in modo unico.

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