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Geometria e Algebra

Rango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli

Rango per righe e per colonne, calcolo con Gauss e con i minori, dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli, struttura delle soluzioni e sistemi con parametro.

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Il rango è il numero che dice “quanta informazione indipendente” contiene una matrice. Collega le tre lezioni precedenti (sistemi, determinante, spazi vettoriali) e porta al teorema di Rouché-Capelli, che risponde una volta per tutte alla domanda: quando un sistema lineare ha soluzioni, e quante?

Definizione

Il rango di una matrice A, \operatorname{rg}A, è il numero massimo di colonne linearmente indipendenti, cioè la dimensione dello spazio generato dalle colonne. Un risultato importante è che coincide con il numero massimo di righe indipendenti: rango per righe e rango per colonne sono uguali. Quindi per una matrice m\times n vale \operatorname{rg}A \le \min(m, n).

Come si calcola

Con Gauss. Le operazioni elementari sulle righe non cambiano il rango (non cambiano lo spazio generato dalle righe). Il rango è quindi il numero di pivot della forma a scala, cioè il numero di righe non nulle.

Con i minori. Un minore di ordine k è il determinante di una sottomatrice k\times k. Il rango è l’ordine massimo di un minore diverso da zero. Per non provarli tutti si usa il teorema degli orlati (di Kronecker): se un minore M di ordine k è diverso da zero e tutti i minori di ordine k + 1 che lo contengono (“orlati”) sono nulli, allora il rango è k.

Esempio.

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 - 3R_1]{R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Due pivot: \operatorname{rg}A = 2. In effetti la terza riga di A è la somma delle prime due, e la seconda colonna è il doppio della prima.

Il teorema di Rouché-Capelli

Teorema. Il sistema A\mathbf x = \mathbf b, con n incognite, ha soluzioni se e solo se

    \[ \operatorname{rg}A = \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf b) \]

In questo caso, detto r il rango comune, le soluzioni dipendono da n - r parametri liberi. In particolare la soluzione è unica se e solo se r = n.

Dimostrazione

A\mathbf x = x_1\mathbf a_1 + \dots + x_n\mathbf a_n è una combinazione delle colonne di A. Il sistema ha soluzione se e solo se \mathbf b è combinazione lineare delle colonne di A, cioè se e solo se \mathbf b appartiene allo spazio generato dalle colonne. Aggiungere \mathbf b come colonna non aumenta allora la dimensione di quello spazio: \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf b) = \operatorname{rg}A. Se invece \mathbf b non è combinazione delle colonne, aggiungendolo il rango sale di uno.

Per il numero di parametri: se \mathbf x_0 è una soluzione, tutte le altre sono \mathbf x_0 + \mathbf y con A\mathbf y = \mathbf 0 (sottraendo due soluzioni si ottiene una soluzione dell’omogeneo). Lo spazio delle soluzioni dell’omogeneo, il nucleo di A, ha dimensione n - r, come dimostreremo con il teorema della dimensione nella lezione sulle applicazioni lineari.

In sintesi, la struttura di tutte le soluzioni è:

    \[ \text{soluzioni di } A\mathbf x = \mathbf b \;=\; \mathbf x_0 \;+\; \text{soluzioni di } A\mathbf x = \mathbf 0 \]

Una soluzione particolare più la soluzione generale dell’omogeneo: la stessa struttura che si incontra nelle equazioni differenziali lineari di Analisi 2 e nei circuiti (risposta forzata più risposta libera). Non è una coincidenza: sono tutti problemi lineari.

Sistemi con parametro

Gli esercizi d’esame chiedono spesso di discutere un sistema al variare di un parametro k.

Esempio.

    \[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x + ky + z = 1\\ x + y + kz = k \end{cases} \]

Il determinante della matrice dei coefficienti, sottraendo la prima riga dalle altre, è quello di una triangolare:

    \[ \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & k - 1 & 0\\ 0 & 0 & k - 1 \end{pmatrix} = (k - 1)^2 \]

  • k \ne 1: \det A \ne 0, rango 3 = numero di incognite, una sola soluzione. Dalla seconda equazione meno la prima, (k - 1)y = 0, quindi y = 0; dalla terza meno la prima, (k - 1)z = k - 1, quindi z = 1; infine x = 0. Soluzione (0, 0, 1).
  • k = 1: le tre equazioni diventano tutte x + y + z = 1. \operatorname{rg}A = \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf b) = 1, le soluzioni dipendono da 3 - 1 = 2 parametri: è un piano.

Se nella terza equazione il termine noto fosse stato 2 invece di k, per k = 1 avremmo avuto \operatorname{rg}A = 1 e \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf b) = 2: sistema impossibile.

Rango e invertibilità

Per una matrice quadrata n\times n sono equivalenti:

  1. A è invertibile;
  2. \det A \ne 0;
  3. \operatorname{rg}A = n;
  4. le colonne (e le righe) di A sono una base di \mathbb R^n;
  5. A\mathbf x = \mathbf 0 ha solo la soluzione nulla;
  6. A\mathbf x = \mathbf b ha una e una sola soluzione per ogni \mathbf b.

Questa lista è uno degli strumenti più usati del corso: per dimostrare una delle proprietà basta dimostrarne un’altra.

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