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Geometria e Algebra

Il determinante: significato geometrico, sviluppo di Laplace e regola di Cramer

Sarrus e Laplace, il determinante come area e volume, proprietà e teorema di Binet, calcolo con Gauss, invertibilità, matrice aggiunta e dimostrazione della regola di Cramer.

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Il determinante è un numero associato a ogni matrice quadrata che riassume un’informazione fondamentale: se la matrice è invertibile o no. Ma ha anche un significato geometrico preciso, che rende naturali tutte le sue proprietà: misura di quanto la matrice dilata le aree e i volumi. In questa lezione lo definiamo, vediamo come si calcola e le sue applicazioni, fino alla regola di Cramer.

Ordine 2 e 3

    \[ \det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \]

Per l’ordine 3 si può usare la regola di Sarrus: si sommano i prodotti delle tre diagonali che scendono verso destra e si sottraggono quelli delle tre che scendono verso sinistra.

    \[ \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \]

Attenzione: Sarrus vale solo per le matrici 3×3. Per ordini superiori serve lo sviluppo di Laplace o l’eliminazione di Gauss.

Il significato geometrico

Le colonne di A sono le immagini dei vettori della base, A\mathbf e_1 e A\mathbf e_2. Il quadrato unitario costruito su \mathbf e_1, \mathbf e_2 si trasforma nel parallelogramma costruito sulle colonne di A.

Il quadrato unitario trasformato da una matrice in un parallelogramma di area pari al determinante
La matrice A manda il quadrato di area 1 nel parallelogramma costruito sulle sue colonne. L’area di questo parallelogramma è |\det A|: qui A ha colonne (2;\ 0{,}5) e (0{,}7;\ 1{,}8), e \det A = 3{,}6 - 0{,}35 = 3{,}25.

Dimostrazione nel caso 2×2

Il parallelogramma di lati (a, c) e (b, d) ha area pari al modulo del prodotto vettoriale dei due vettori pensati nello spazio con terza componente nulla: (a, c, 0)\times(b, d, 0) = (0, 0, ad - bc). Quindi l’area è |ad - bc|. In tre dimensioni, analogamente, |\det A| è il volume del parallelepipedo costruito sulle colonne: è il prodotto misto della lezione sui vettori.

Il segno indica l’orientamento: positivo se la trasformazione conserva il verso di rotazione (da \mathbf e_1 a \mathbf e_2 in senso antiorario), negativo se lo inverte, come fa uno specchio. E se \det A = 0 il parallelogramma è schiacciato su una retta: la trasformazione perde una dimensione e non si può invertire.

Lo sviluppo di Laplace

Per una matrice n\times n, sia A_{ij} la sottomatrice che si ottiene cancellando la riga i e la colonna j. Il complemento algebrico è C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij}. Allora, sviluppando lungo una qualsiasi riga i:

    \[ \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij} \]

e lo stesso vale lungo una qualsiasi colonna. Conviene scegliere la riga o la colonna con più zeri. I segni (-1)^{i+j} seguono lo schema a scacchiera che parte con + in alto a sinistra.

Esempio.

    \[ \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} = 2\det\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & 5 \end{pmatrix} - 0 + 1\cdot\det\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2\cdot 5 + 11 = 21 \]

Le proprietà

  1. Scambiando due righe il determinante cambia segno.
  2. Moltiplicando una riga per \lambda, il determinante si moltiplica per \lambda. Quindi \det(\lambda A) = \lambda^n\det A.
  3. Sommando a una riga un multiplo di un’altra, il determinante non cambia.
  4. Se due righe sono uguali o proporzionali, o una riga è nulla, \det A = 0.
  5. \det A^T = \det A: tutto ciò che vale per le righe vale per le colonne.
  6. Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla diagonale.
  7. Teorema di Binet: \det(AB) = \det A\cdot\det B.

La proprietà 7 ha una lettura geometrica immediata: applicare B e poi A moltiplica le aree prima per \det B e poi per \det A. Ne segue che \det(A^{-1}) = 1/\det A.

Calcolo con Gauss

Le proprietà 1, 3 e 6 danno il metodo più efficiente: si riduce la matrice a forma triangolare con le operazioni elementari, si moltiplica la diagonale e si cambia segno una volta per ogni scambio di righe. Per una matrice 10×10 lo sviluppo di Laplace richiede milioni di prodotti, Gauss qualche centinaio.

Determinante e invertibilità

Teorema. Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se \det A \ne 0.

Se A è invertibile, per Binet \det A\cdot\det A^{-1} = \det I = 1, quindi \det A \ne 0. Viceversa, se \det A \ne 0 si può scrivere l’inversa esplicitamente con i complementi algebrici:

    \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\big(C_{ij}\big)^T \]

(la trasposta della matrice dei complementi algebrici si chiama matrice aggiunta). Per le 2×2 ritroviamo la formula della lezione sulle matrici.

La regola di Cramer

Se \det A \ne 0, il sistema A\mathbf x = \mathbf b ha l’unica soluzione

    \[ x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \]

dove A_i è la matrice A con la colonna i sostituita da \mathbf b.

Dimostrazione. Sia \mathbf x la soluzione. Nella matrice A_i la colonna i è \mathbf b = x_1\mathbf a_1 + \dots + x_n\mathbf a_n, combinazione delle colonne di A. Per la linearità del determinante in ogni colonna, \det A_i si spezza in n determinanti: quelli con \mathbf a_j, j \ne i, al posto i hanno due colonne uguali e valgono zero. Resta \det A_i = x_i\det A.

Esempio. 2x + y = 5, x - 3y = -1: \det A = -6 - 1 = -7, x = \det\begin{pmatrix}5 & 1\\ -1 & -3\end{pmatrix}/(-7) = (-15 + 1)/(-7) = 2, y = \det\begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & -1\end{pmatrix}/(-7) = (-2 - 5)/(-7) = 1.

Cramer è comodo per sistemi 2×2 e 3×3 fatti a mano, e per ottenere formule simboliche (come i partitori nei circuiti), ma con molte incognite è molto più lento di Gauss.

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