Geometria analitica dello spazio: rette, piani, distanze e angoli
Equazione del piano e vettore normale, piano per tre punti, rette in forma parametrica e cartesiana, posizioni reciproche, rette sghembe, distanze e angoli.
Nello spazio tridimensionale gli oggetti lineari sono i piani e le rette. Con i vettori, il prodotto scalare e il prodotto vettoriale si risolvono tutti i problemi classici: equazioni, posizioni reciproche, angoli e distanze. È la geometria dietro la grafica 3D, la robotica e la progettazione meccanica.
Il piano
Un piano è individuato da un punto 
e da un vettore normale 
. Un punto 
sta sul piano se 
è perpendicolare a 
:
![\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad ax + by + cz + d = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c30ba791b0e9de8e54d00669b745411_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Come per la retta nel piano, i coefficienti di 
sono le componenti di un vettore normale.
Piano per tre punti. Se A, B, C non sono allineati, il vettore 
è normale al piano. Esempio: 
, 
, 
. 
, 
, prodotto vettoriale 
. Il piano è 
, cioè 
, o anche 
(forma segmentaria: si leggono le intersezioni con gli assi).
In alternativa: il punto sta sul piano ABC se e solo se 
, 
, 
sono complanari, cioè se il loro prodotto misto, un determinante 3×3, è nullo.
La retta
Una retta nello spazio si scrive in forma parametrica, con un punto e un vettore direzione 
:
![\[ (x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t\,(l, m, n) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3aec078c69d27ff2bc90fd9708c437ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
oppure in forma cartesiana, come intersezione di due piani non paralleli:
![\[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f9159ec6e54ccab9b319be60606b7bae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Una sola equazione lineare nello spazio è un piano, non una retta: è un errore frequente. Per passare dalla forma cartesiana alla parametrica si risolve il sistema (rango 2, una variabile libera); il vettore direzione è anche 
, perpendicolare a entrambe le normali.
Posizioni reciproche
Due piani sono paralleli se le normali sono proporzionali, altrimenti si incontrano in una retta. L’angolo tra due piani è l’angolo tra le loro normali.
Retta e piano. Con 
direzione della retta e normale al piano: se 
si incontrano in un punto; se 
la retta è parallela al piano (o ci sta dentro). La retta è perpendicolare al piano se è parallelo a .
Due rette nello spazio possono essere incidenti, parallele oppure sghembe: non parallele e senza punti comuni, come due strade una sopra l’altra a un cavalcavia. Sono complanari (quindi incidenti o parallele) se e solo se il prodotto misto di 
, 
, 
è nullo.
Distanze
dal piano 
è la lunghezza del segmento perpendicolare: la componente di 
lungo il vettore normale .Distanza punto-piano
![\[ d(Q, \pi) = \frac{|a x_Q + b y_Q + c z_Q + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2792dda3ee909ddefbe0c9f00cec6f76_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. È identica a quella della distanza punto-retta nel piano: si proietta sulla normale, 
, e si usa 
. Esempio: la distanza dell’origine da è 
.
Distanza punto-retta
La distanza di dalla retta per 
con direzione è l’altezza del parallelogramma costruito su e , cioè area diviso base:
![\[ d(Q, r) = \frac{|\overrightarrow{P_0Q}\times\mathbf d|}{|\mathbf d|} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d08435542c27030fe894b1934f748102_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Distanza tra rette sghembe
Il vettore 
è perpendicolare a entrambe le rette. La distanza è la proiezione di su questa direzione, cioè il volume del parallelepipedo diviso l’area della base:
![\[ d(r_1, r_2) = \frac{|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf d_1\times\mathbf d_2)|}{|\mathbf d_1\times\mathbf d_2|} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5c46675844270377c9fde5def4ba36a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. 
: 
, l’asse 
; 
: 
. 
, 
, prodotto scalare 
. Distanza 
. Non essendo zero, le rette sono sghembe.
Angoli
- tra due rette:
; - tra due piani: lo stesso con le normali;
- tra retta e piano:
, perché l’angolo con il piano è il complementare di quello con la normale.
Una nota pratica
Nella grafica 3D ogni triangolo di un modello ha una normale calcolata con il prodotto vettoriale di due lati: serve a decidere se la faccia è rivolta verso la telecamera (back-face culling) e quanta luce riceve (il coseno tra normale e direzione della luce, cioè un prodotto scalare). Il “ray tracing” calcola milioni di intersezioni retta-piano al secondo con le formule di questa lezione.
