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Geometria e Algebra

Vettori nello spazio: prodotto scalare, vettoriale e misto

Vettori liberi e componenti, prodotto scalare con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, prodotto vettoriale e aree, prodotto misto, volumi e complanarità, con un esercizio svolto.

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Il corso di Geometria e Algebra comincia dai vettori dello spazio, perché sono il modello concreto da cui nasce tutta l’algebra lineare: prima si impara a lavorare con frecce nel piano e nello spazio, poi si scopre che le stesse regole valgono per polinomi, segnali e matrici. In questa lezione vediamo vettori, componenti, prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto, con il loro significato geometrico: lunghezze, angoli, aree e volumi.

Vettori applicati e vettori liberi

Un segmento orientato \overrightarrow{AB} ha un punto di partenza, una lunghezza, una direzione e un verso. Due segmenti orientati che si ottengono uno dall’altro con una traslazione rappresentano lo stesso vettore libero. Fissata un’origine O, ogni vettore si può applicare in O e corrisponde a un unico punto P: per questo nello spazio con un sistema di riferimento cartesiano si identificano vettori e terne di numeri,

    \[ \vec v = \overrightarrow{OP} = (x, y, z) = x\,\vec e_1 + y\,\vec e_2 + z\,\vec e_3 \]

Le operazioni si fanno componente per componente: \vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3), \lambda\vec v = (\lambda v_1, \lambda v_2, \lambda v_3). Il vettore che va da A a B si ottiene come differenza, \overrightarrow{AB} = B - A, e il punto medio di AB è \tfrac12(A + B).

Parallelismo. Due vettori non nulli sono paralleli se uno è multiplo dell’altro, \vec u = \lambda\vec v. Tre punti A, B, C sono allineati se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} sono paralleli.

Prodotto scalare: lunghezze e angoli

    \[ \vec u\cdot\vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec u|\,|\vec v|\cos\theta \]

Le due forme sono equivalenti (la dimostrazione con i versori ortonormali è nella lezione di Fisica 1 su vettori e grandezze). Da qui:

  • norma: |\vec v| = \sqrt{\vec v\cdot\vec v}; la distanza tra due punti è |B - A|;
  • angolo: \cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|};
  • ortogonalità: \vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0.

Dimostrazione: la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

|\vec u\cdot\vec v| \le |\vec u|\,|\vec v|. Per ogni numero reale t vale |\vec u + t\vec v|^2 \ge 0, cioè

    \[ |\vec v|^2 t^2 + 2(\vec u\cdot\vec v)\,t + |\vec u|^2 \ge 0 \quad\forall t \]

Un polinomio di secondo grado che non diventa mai negativo ha discriminante minore o uguale a zero: 4(\vec u\cdot\vec v)^2 - 4|\vec u|^2|\vec v|^2 \le 0, che è la tesi. Questa dimostrazione usa solo le proprietà del prodotto scalare, non le componenti: per questo varrà anche negli spazi astratti. Ne segue la disuguaglianza triangolare |\vec u + \vec v| \le |\vec u| + |\vec v|.

Prodotto vettoriale: aree

    \[ \vec u\times\vec v = \det\begin{pmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} = (u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1) \]

Il risultato è un vettore perpendicolare sia a \vec u che a \vec v, con verso dato dalla regola della mano destra e modulo |\vec u|\,|\vec v|\sin\theta, che è l’area del parallelogramma costruito sui due vettori. L’area del triangolo ABC è quindi \tfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|.

Il prodotto vettoriale perpendicolare al parallelogramma e il parallelepipedo del prodotto misto
A sinistra: \vec u\times\vec v è perpendicolare al piano di \vec u e \vec v e il suo modulo è l’area del parallelogramma. A destra: il valore assoluto del prodotto misto è il volume del parallelepipedo costruito su tre vettori.

Proprietà da ricordare: \vec v\times\vec u = -\vec u\times\vec v (anticommutativo); \vec u\times\vec v = \vec 0 se e solo se i vettori sono paralleli; non è associativo.

Dimostrazione: il modulo è l’area

Sviluppando i quadrati si verifica l’identità di Lagrange, |\vec u\times\vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u\cdot\vec v)^2. Sostituendo \vec u\cdot\vec v = |\vec u||\vec v|\cos\theta:

    \[ |\vec u\times\vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2(1 - \cos^2\theta) = \big(|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta\big)^2 \]

e |\vec v|\sin\theta è proprio l’altezza del parallelogramma di base |\vec u|.

Prodotto misto: volumi e complanarità

    \[ \vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = \det\begin{pmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix} \]

Il suo valore assoluto è il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori: |\vec v\times\vec w| è l’area della base e |\vec u|\,|\cos\varphi| (con \varphi angolo tra \vec u e la normale alla base) è l’altezza. Il segno dice se la terna è orientata come gli assi (destrorsa) o no.

Conseguenza fondamentale: tre vettori sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è zero, cioè se il determinante delle loro componenti è nullo. È il primo incontro con un’idea che tornerà in tutto il corso: un determinante nullo significa che qualcosa “collassa” in una dimensione in meno.

Esercizio svolto

Dati A = (1, 0, 2), B = (3, 1, 1), C = (0, 2, 3), D = (2, 2, 5): calcolare l’area del triangolo ABC e il volume del tetraedro ABCD.

  • \overrightarrow{AB} = (2, 1, -1), \overrightarrow{AC} = (-1, 2, 1), \overrightarrow{AD} = (1, 2, 3).
  • \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (1\cdot 1 - (-1)\cdot 2,\; (-1)(-1) - 2\cdot 1,\; 2\cdot 2 - 1\cdot(-1)) = (3, -1, 5).
  • Area di ABC: \tfrac12\sqrt{9 + 1 + 25} = \tfrac12\sqrt{35} \approx 2{,}96.
  • Prodotto misto: \overrightarrow{AD}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}) = 3 - 2 + 15 = 16.
  • Il tetraedro è un sesto del parallelepipedo: volume 16/6 = 8/3.

Se il prodotto misto fosse venuto zero, i quattro punti sarebbero stati sullo stesso piano.

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