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Analisi Matematica 1

Numeri complessi: forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale

Operazioni, piano di Gauss, modulo e argomento, formula di Eulero, potenze con De Moivre, radici n-esime, equazioni e perché i fasori dei circuiti sono numeri complessi.

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L’equazione x^2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali. I numeri complessi nascono per dargliene una, ma per chi studia ingegneria elettronica sono molto di più: sono il modo naturale di descrivere sinusoidi, impedenze e spettri. Questa lezione copre tutto quello che serve in Analisi 1: forma algebrica, piano di Gauss, forma trigonometrica ed esponenziale, potenze, radici ed equazioni.

Forma algebrica

Si introduce l’unità immaginaria i, con i^2 = -1 (in elettrotecnica si scrive j, perché i è la corrente). Un numero complesso è z = a + ib, con a = \operatorname{Re} z parte reale e b = \operatorname{Im} z parte immaginaria. Le operazioni seguono le regole dell’algebra, ricordando che i^2 = -1:

  • somma: (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d);
  • prodotto: (a+ib)(c+id) = (ac - bd) + i(ad + bc);
  • coniugato: \bar z = a - ib, con z\bar z = a^2 + b^2;
  • quoziente: si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, \dfrac{1+2i}{3-i} = \dfrac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \dfrac{1 + 7i}{10}.

Il piano di Gauss, modulo e argomento

Il numero a + ib si rappresenta come il punto (a, b) del piano. La sua distanza dall’origine è il modulo |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, l’angolo con il semiasse reale positivo è l’argomento \theta = \arg z. Per calcolare l’argomento non basta \arctan(b/a): bisogna guardare il quadrante. Per z = -1 + i si ha \arctan(-1) = -\pi/4, ma il punto sta nel secondo quadrante, quindi \theta = 3\pi/4.

Forma trigonometrica ed esponenziale

Con modulo \rho e argomento \theta si scrive z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta). La formula di Eulero

    \[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

permette di scrivere in forma compatta z = \rho\, e^{i\theta}. Il vantaggio è enorme nei prodotti: i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano,

    \[ \rho_1 e^{i\theta_1}\cdot \rho_2 e^{i\theta_2} = \rho_1\rho_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{\rho_1 e^{i\theta_1}}{\rho_2 e^{i\theta_2}} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\, e^{i(\theta_1-\theta_2)}. \]

Moltiplicare per i = e^{i\pi/2} significa quindi ruotare di 90° nel piano: è la ragione per cui un’induttanza “sfasa” la corrente di un quarto di periodo.

Potenze: la formula di De Moivre

Da quanto visto, z^n = \rho^n e^{in\theta}, cioè (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta. Esempio: (1+i)^8. Il modulo è \sqrt2, l’argomento \pi/4, quindi (1+i)^8 = (\sqrt2)^8 e^{i2\pi} = 16. Svolgere i prodotti a mano richiederebbe molto più tempo.

Radici n-esime

Ogni numero complesso w = r e^{i\varphi} diverso da zero ha esattamente n radici n-esime:

    \[ z_k = \sqrt[n]{r}\; e^{\,i\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1. \]

Stanno sui vertici di un poligono regolare di n lati centrato nell’origine. Le radici cubiche di 1, per esempio, sono 1, e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}: un triangolo equilatero, lo stesso schema delle tre fasi di un sistema trifase.

Equazioni

Nei complessi ogni equazione di secondo grado ha due soluzioni, anche con discriminante negativo: z^2 + 2z + 5 = 0 dà z = -1 \pm \sqrt{-4} = -1 \pm 2i. Più in generale il teorema fondamentale dell’algebra dice che un polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse, contate con la molteplicità. Se i coefficienti sono reali, le radici non reali compaiono in coppie coniugate.

Un errore frequente: le regole delle potenze reali non valgono sempre. Scrivere \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = 1 porta a i^2 = 1, che è falso. Nei complessi la radice è una funzione a più valori e va trattata con la formula delle radici.

Perché servono all’ingegnere

Una tensione sinusoidale v(t) = V_m\cos(\omega t + \varphi) è la parte reale di V_m e^{i\varphi} e^{i\omega t}. Il numero complesso V_m e^{i\varphi}, detto fasore, contiene ampiezza e fase. Con i fasori le derivate diventano moltiplicazioni per i\omega, e le equazioni differenziali dei circuiti in regime sinusoidale diventano equazioni algebriche: un resistore ha impedenza R, un’induttanza i\omega L, un condensatore \frac{1}{i\omega C}. Lo stesso linguaggio si ritrova nella trasformata di Fourier e nella risposta in frequenza dei filtri.

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