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Analisi Matematica 1

Funzioni elementari e trigonometria: grafici, proprietà e trasformazioni

Dominio, simmetrie e invertibilità; potenze, esponenziali e logaritmi; funzioni trigonometriche e inverse; come disegnare grafici con traslazioni e simmetrie.

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Prima di parlare di limiti e derivate bisogna conoscere bene le funzioni su cui si lavora: dominio, segno, grafico, simmetrie, invertibilità. Questa lezione ripassa le funzioni elementari che compaiono in ogni esercizio di Analisi 1 e le trasformazioni che permettono di disegnarne di nuove senza calcoli.

Concetti di base

  • Dominio: l’insieme dei valori di x per cui l’espressione ha senso. I vincoli tipici sono denominatori diversi da zero, radicandi di indice pari \ge 0, argomenti dei logaritmi > 0.
  • Funzione pari: f(-x) = f(x), grafico simmetrico rispetto all’asse y (come x^2, \cos x). Dispari: f(-x) = -f(x), simmetria rispetto all’origine (come x^3, \sin x).
  • Monotona: crescente o decrescente su un intervallo. Una funzione strettamente monotona è invertibile, e il grafico dell’inversa è il simmetrico rispetto alla retta y = x.
  • Periodica di periodo T: f(x + T) = f(x) per ogni x.

Potenze e radici

x^n con n pari è pari e ha il minimo in 0; con n dispari è dispari e crescente. Le radici sono le inverse: \sqrt{x} è definita per x \ge 0, \sqrt[3]{x} su tutto \mathbb R. Le potenze con esponente reale x^\alpha si definiscono per x > 0 come e^{\alpha \ln x}.

Esponenziale e logaritmo

a^x con a > 1 è positiva e crescente, con 0 < a < 1 decrescente; passa sempre per (0, 1). Il logaritmo \log_a x è la sua inversa, definita per x > 0 e passante per (1, 0). Le proprietà da sapere:

    \[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad \log_a x^k = k\log_a x, \quad \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}. \]

In ingegneria il logaritmo è ovunque: i decibel (20\log_{10} di un rapporto di tensioni), i diagrammi di Bode, la scarica di un condensatore che segue e^{-t/\tau}.

Funzioni trigonometriche

Sulla circonferenza di raggio 1, il punto individuato dall’angolo x (in radianti) ha coordinate (\cos x, \sin x). Da qui seguono le relazioni fondamentali:

  • \sin^2 x + \cos^2 x = 1, \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x};
  • periodo 2\pi per seno e coseno, \pi per la tangente;
  • formule di addizione: \sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a \sin b, \cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b;
  • duplicazione: \sin 2x = 2\sin x\cos x, \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x.

Gli archi associati (\pi - x, \pi + x, \frac{\pi}{2} - x…) si ricavano tutti dalla simmetria della circonferenza: per esempio \sin(\pi - x) = \sin x e \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x. L’approfondimento sulla trigonometria li raccoglie in tabella.

Le inverse trigonometriche

Seno, coseno e tangente non sono invertibili su tutto \mathbb R, perché sono periodiche. Si restringono a un intervallo dove sono monotone:

  • \arcsin: [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}];
  • \arccos: [-1, 1] \to [0, \pi];
  • \arctan: \mathbb R \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}).

Attenzione: \arcsin(\sin x) = x solo se x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. Per esempio \arcsin(\sin \pi) = \arcsin 0 = 0, non \pi.

Valore assoluto, parte intera, funzioni a tratti

|x| vale x per x \ge 0 e -x per x < 0: un grafico a V. Le funzioni definite a tratti sono il modello di molti segnali (il gradino, la rampa, il segnale rettangolare) e sono il banco di prova naturale per continuità e derivabilità.

Disegnare grafici con le trasformazioni

Partendo dal grafico di f(x) si ottengono, senza calcoli:

FunzioneTrasformazione del grafico
f(x) + ktraslazione verticale di k
f(x - h)traslazione orizzontale di h (verso destra se h > 0)
-f(x)simmetria rispetto all’asse x
f(-x)simmetria rispetto all’asse y
|f(x)|le parti negative vengono ribaltate sopra l’asse x
f(|x|)si tiene la parte con x \ge 0 e la si specchia a sinistra
a f(x), f(bx)dilatazione verticale di a, orizzontale di 1/b

Esempio: y = 2 - e^{-x} si ottiene da e^x con una simmetria rispetto all’asse y (e^{-x}), una rispetto all’asse x (-e^{-x}) e una traslazione verso l’alto di 2. Il risultato parte da 1 per x = 0 e tende a 2: è proprio la forma della tensione su un condensatore che si carica verso 2 V.

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