Integrali, approfondimento: teorema fondamentale, metodi di integrazione dimostrati e tabelle

Teorema fondamentale del calcolo dimostrato, parti e sostituzione ricavate, integrali ciclici, formula di Wallis, funzioni razionali in ogni caso, sostituzione universale, sostituzioni per le radici, tabelle di integrali immediati e notevoli, scelta del metodo.

ielettronica 25 ottobre 2026 8 min di lettura 0 commenti

Questa pagina approfondisce le lezioni sugli integrali indefiniti e definiti. Dimostra il teorema fondamentale del calcolo e le regole di integrazione, sviluppa in ogni caso il metodo per le funzioni razionali, ricava le sostituzioni per le funzioni trigonometriche e irrazionali e la formula ricorsiva per le potenze del seno. In fondo ci sono le tabelle da ricordare: integrali immediati, integrali notevoli e la “ricetta” per scegliere il metodo.

Il teorema fondamentale del calcolo

Teorema. Sia $f$ continua su $[a, b]$ e sia $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ la funzione integrale. Allora $F$ è derivabile e $F'(x) = f(x)$ per ogni $x$ . Di conseguenza, se $G$ è una qualunque primitiva di $f$ :

$\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$

Dimostrazione. Per $h \ne 0$ , per l’additività dell’integrale,

$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt$

Per il teorema della media integrale (lezione) esiste $c_h$ tra $x$ e $x + h$ con $\int_x^{x+h}f = h\,f(c_h)$ . Quindi il rapporto incrementale vale $f(c_h)$ . Quando $h \to 0$ , $c_h \to x$ , e per la continuità di $f$ , $f(c_h) \to f(x)$ . Dunque $F'(x) = f(x)$ .

Per la seconda parte: $F$ e $G$ sono primitive della stessa funzione su un intervallo, quindi differiscono per una costante (la derivata di $F - G$ è nulla, e una funzione con derivata nulla su un intervallo è costante, conseguenza del teorema di Lagrange). $F(x) = G(x) + k$ ; con $x = a$ , $0 = G(a) + k$ . Allora $\int_a^b f = F(b) = G(b) - G(a)$ . ∎

Il teorema fondamentale del calcolo — La funzione integrale F di x è l’area blu sotto il grafico di f da a a x. Quando x aumenta di h, l’area cresce della striscia rossa, che per h piccolo è circa f di x per h: per questo la derivata di F è f.

È il teorema che collega due problemi in apparenza diversi, l’area e la tangente. Ha due conseguenze che si usano spesso: ogni funzione continua ha una primitiva (anche se non si sa scrivere con funzioni elementari, come $e^{-x^2}$ ), e la derivata di $\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt$ è $f(g(x))\,g'(x)$ , per la regola della catena.

Le regole di integrazione, ricavate

Per parti. Dalla regola del prodotto $(fg)' = f'g + fg'$ , integrando entrambi i membri:

$\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$

Si sceglie come $f$ il fattore che si semplifica derivando (polinomi, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse) e come $g'$ quello che si sa integrare (esponenziali, seno, coseno). Il trucco per $\int\ln x\,dx$ e $\int\arctan x\,dx$ è prendere $g' = 1$ .

Integrali ciclici. Per $\int e^x\sin x\,dx$ le parti, applicate due volte, riportano all’integrale di partenza con segno cambiato: $I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$ , e quindi $I = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$ . Si risolve un’equazione nell’incognita $I$ .

Per sostituzione. Dalla regola della catena, se $G' = g$ allora $(G(\varphi(t)))' = g(\varphi(t))\,\varphi'(t)$ . Quindi, con $x = \varphi(t)$ :

$\int g(x)\,dx = \int g(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt,\qquad \int_a^b g(x)\,dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}g(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt$

Nell’integrale definito si cambiano gli estremi e non serve tornare alla variabile $x$ . La regola pratica “ $dx = \varphi'(t)\,dt$ ” è solo un modo mnemonico di scrivere questa formula.

Formula ricorsiva per le potenze del seno. Con $I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ , per parti con $f = \sin^{n-1}x$ e $g' = \sin x$ , e poi $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$I_n = (n - 1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dx = (n - 1)(I_{n-2} - I_n) \quad\Rightarrow\quad I_n = \frac{n - 1}{n}I_{n-2}$

con $I_0 = \frac{\pi}{2}$ e $I_1 = 1$ . Per esempio $I_4 = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Sono gli integrali di Wallis; lo stesso vale per il coseno.

Le funzioni razionali, caso per caso

Per integrare $\frac{N(x)}{D(x)}$ , con $N$ e $D$ polinomi, si procede così.

1. Grado. Se il grado di $N$ è maggiore o uguale a quello di $D$ , si divide: $\frac{N}{D} = Q + \frac{R}{D}$ , con il grado di $R$ minore di quello di $D$ . Il quoziente $Q$ è un polinomio e si integra subito.

2. Fattorizzazione. Si scompone $D$ in fattori di primo grado $(x - a)^k$ e di secondo grado irriducibili $(x^2 + px + q)^k$ con $p^2 - 4q \lt 0$ . Ogni polinomio reale si scompone così (conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra).

3. Fratti semplici. $\frac{R}{D}$ si scrive come somma di termini $\frac{A}{x - a}$ , $\frac{A}{(x - a)^2}$ , … per i fattori di primo grado (uno per ogni potenza fino alla molteplicità) e $\frac{Bx + C}{x^2 + px + q}$ per quelli di secondo grado. Le costanti si trovano con il principio d’identità dei polinomi, o più in fretta sostituendo le radici.

4. Integrazione dei fratti. $\int\frac{dx}{x - a} = \ln|x - a|$ ; $\int\frac{dx}{(x - a)^k} = -\frac{1}{(k - 1)(x - a)^{k-1}}$ per $k \ge 2$ . Per il termine di secondo grado si fa comparire al numeratore la derivata del denominatore:

$\frac{Bx + C}{x^2 + px + q} = \frac{B}{2}\cdot\frac{2x + p}{x^2 + px + q} + \left(C - \frac{Bp}{2}\right)\frac{1}{x^2 + px + q}$

Il primo pezzo dà $\frac{B}{2}\ln(x^2 + px + q)$ . Per il secondo si completa il quadrato:

Teorema. Se $\Delta = p^2 - 4q \lt 0$ , con $k = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2} = \sqrt{q - \frac{p^2}{4}}$ :

$\int\frac{dx}{x^2 + px + q} = \frac{1}{k}\arctan\frac{x + \frac{p}{2}}{k} + C$

Dimostrazione. $x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + k^2$ . Con $x + \frac{p}{2} = k\,u$ , $dx = k\,du$ : $\int\frac{k\,du}{k^2(u^2 + 1)} = \frac{1}{k}\arctan u$ . ∎

Se $\Delta \gt 0$ il denominatore ha due radici reali e si torna ai fratti di primo grado; se $\Delta = 0$ è un quadrato perfetto, $(x - a)^2$ , e l’integrale di $1/(x - a)^2$ è $-1/(x - a)$ .

Funzioni trigonometriche: la sostituzione universale

Teorema. Con $t = \tan\frac{x}{2}$ , per $-\pi \lt x \lt \pi$ :

$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2},\qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},\qquad dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}$

Dimostrazione. Con le formule di duplicazione e dividendo per $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ : $\sin x = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}}$ ; dividendo numeratore e denominatore per $\cos^2\frac{x}{2}$ si ottiene $\frac{2t}{1 + t^2}$ . Allo stesso modo $\cos x = \frac{\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ . Infine $x = 2\arctan t$ , quindi $dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}$ . ∎

Ogni funzione razionale di $\sin x$ e $\cos x$ diventa così una funzione razionale di $t$ . Funziona sempre ma porta spesso a conti lunghi: prima conviene provare le scorciatoie, cioè $u = \sin x$ se il resto contiene $\cos x\,dx$ , le formule $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ e $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ per le potenze pari.

Le radici: sostituzioni trigonometriche e iperboliche

Per $\sqrt{a^2 - x^2}$ si pone $x = a\sin t$ , e la radice diventa $a\cos t$ . Per $\sqrt{x^2 + a^2}$ si pone $x = a\sinh t$ , e la radice diventa $a\cosh t$ (perché $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ ). Per $\sqrt{x^2 - a^2}$ , $x = a\cosh t$ .

Esempio: l’area del cerchio. Con $x = \sin t$ , $dx = \cos t\,dt$ :

$\int\sqrt{1 - x^2}\,dx = \int\cos^2 t\,dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + C$

Tra 0 e 1 dà $\frac{\pi}{4}$ , un quarto del cerchio di raggio 1. I due termini hanno un significato geometrico preciso, mostrato in figura.

Significato geometrico dell'integrale della radice di 1 meno x quadro — L’area sotto il quarto di circonferenza tra 0 e x è la somma del settore circolare S, di angolo t uguale ad arcoseno di x e area t mezzi, e del triangolo T, di base x e altezza radice di 1 meno x quadro.

Le tabelle da ricordare

Integrali immediati (la costante $C$ è sottintesa)

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^\alpha$ , $\alpha \ne -1$	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$
$e^x$ , $a^x$	$e^x$ , $\dfrac{a^x}{\ln a}$
$\sin x$ , $\cos x$	$-\cos x$ , $\sin x$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ , $\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$\tan x$ , $-\cot x$
$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$\arctan x$
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x$
$\sinh x$ , $\cosh x$	$\cosh x$ , $\sinh x$

Forme composte (con $g$ derivabile): $\int g'(x)\,g(x)^\alpha\,dx = \frac{g^{\alpha+1}}{\alpha + 1}$ ; $\int\frac{g'}{g}dx = \ln|g|$ ; $\int g'\,e^{g}dx = e^{g}$ ; $\int\frac{g'}{1 + g^2}dx = \arctan g$ . Riconoscerle a colpo d’occhio evita molte sostituzioni.

Integrali notevoli ( $a \gt 0$ )

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\ln x$	$x\ln x - x$
$\arctan x$	$x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2)$
$\tan x$	$-\ln\|\cos x\|$
$\dfrac{1}{\cos x}$	$\ln\left\|\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right\|$
$\sin^2 x$ , $\cos^2 x$	$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4}$ , $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4}$
$\dfrac{1}{x^2 + a^2}$	$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}$
$\dfrac{1}{x^2 - a^2}$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\|\dfrac{x - a}{x + a}\right\|$
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$\arcsin\dfrac{x}{a}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$	$\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2}$
$e^{ax}\sin bx$	$\dfrac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2}$

Quale metodo usare

Se l’integranda è…	Metodo
una forma composta $g'\cdot h(g)$	sostituzione $u = g(x)$
polinomio per esponenziale, seno o coseno	per parti, derivando il polinomio
polinomio per logaritmo o arcotangente	per parti, derivando il logaritmo o l’arcotangente
esponenziale per seno o coseno	per parti due volte, integrale ciclico
funzione razionale	divisione e fratti semplici
razionale in $\sin x$ e $\cos x$	scorciatoie, altrimenti $t = \tan\frac{x}{2}$
con $\sqrt{a^2 - x^2}$ , $\sqrt{x^2 \pm a^2}$	$x = a\sin t$ , $x = a\sinh t$ , $x = a\cosh t$
con $\sqrt[n]{ax + b}$	$t = \sqrt[n]{ax + b}$

Gli esercizi, dal livello base a quello d’esame, con aree, volumi e funzioni integrali, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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Il teorema fondamentale del calcolo

Le regole di integrazione, ricavate

Le funzioni razionali, caso per caso

Funzioni trigonometriche: la sostituzione universale

Le radici: sostituzioni trigonometriche e iperboliche

Le tabelle da ricordare

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