Vai al contenuto
Analisi Matematica 1

Integrale definito: teorema fondamentale, aree e applicazioni in elettrotecnica

Somme di Riemann, proprietà, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo, aree tra curve, carica, energia, valore medio ed efficace, integrazione numerica.

3 min di lettura 0 commenti

L’integrale definito nasce da una domanda geometrica, quanto vale l’area sotto un grafico, ma risponde a moltissime domande fisiche: la carica accumulata da una corrente, l’energia assorbita in un intervallo di tempo, il valore medio ed efficace di un segnale. Il teorema fondamentale del calcolo lo collega alle primitive e lo rende calcolabile.

Definizione con le somme di Riemann

Si divide [a, b] in n intervallini di ampiezza \Delta x = \frac{b-a}{n}, si sceglie un punto \xi_k in ciascuno e si sommano le aree dei rettangoli:

    \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\,\Delta x. \]

Se, raffinando la suddivisione, S_n tende allo stesso limite qualunque sia la scelta dei punti, f è integrabile e il limite è \int_a^b f(x)\,dx. Le funzioni continue sono integrabili, e lo sono anche quelle con un numero finito di salti. Le aree sotto l’asse x contano con il segno meno.

Proprietà

  • Linearità: \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g.
  • Additività: \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f.
  • Monotonia: se f \le g allora \int_a^b f \le \int_a^b g; in particolare \left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|.
  • Simmetrie: se f è dispari \int_{-a}^{a} f = 0; se è pari \int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f.

Teorema della media

Se f è continua su [a, b] esiste c tale che \int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b - a). La quantità \frac{1}{b-a}\int_a^b f è il valor medio di f: in elettronica è la componente continua di un segnale.

Il teorema fondamentale del calcolo

Sia f continua. La funzione integrale F(x) = \int_a^x f(t)\,dt è derivabile e F'(x) = f(x): l’integrale è una primitiva. Di conseguenza, se G è una primitiva qualsiasi,

    \[ \int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a) = \Big[G(x)\Big]_a^b. \]

Esempio: \int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 + 1 = 2. Senza questo teorema servirebbe calcolare un limite di somme ogni volta.

Nelle sostituzioni si cambiano anche gli estremi: \int_0^1 2x\,e^{x^2}dx, con t = x^2, diventa \int_0^1 e^t\,dt = e - 1. Per parti: \int_a^b f'g = [fg]_a^b - \int_a^b fg'.

Aree

L’area tra due grafici con g \le f su [a, b] è \int_a^b (f - g)\,dx. Per l’area tra y = x e y = x^2: le curve si incontrano in 0 e 1, e su quell’intervallo x \ge x^2, quindi l’area è \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac12 - \frac13 = \frac16. Se una funzione cambia segno e si vuole l’area geometrica, si integra |f|, cioè si spezza l’intervallo nei punti in cui f si annulla.

Applicazioni in elettrotecnica

  • Carica: q = \int_{t_1}^{t_2} i(t)\,dt. La tensione su un condensatore è v(t) = v(0) + \frac1C\int_0^t i(\tau)\,d\tau.
  • Energia: W = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,i(t)\,dt. L’energia immagazzinata in un condensatore carico a V è \int_0^V C v\,dv = \frac12 CV^2.
  • Valore efficace: V_{\text{eff}} = \sqrt{\frac1T\int_0^T v^2(t)\,dt}. Per v = V_m\sin\omega t si ottiene \frac{V_m}{\sqrt2}: i 230 V della rete sono un valore efficace, con un picco di circa 325 V.
  • Valor medio di un’onda raddrizzata a doppia semionda: \frac{1}{\pi}\int_0^\pi V_m\sin x\,dx = \frac{2V_m}{\pi} \approx 0{,}637\,V_m.

Un’applicazione fisica più estesa, la carica e scarica di un condensatore studiata con l’integrazione, è nell’approfondimento collegato a questo argomento del programma.

Integrazione numerica (cenno)

Quando la primitiva non è elementare si torna alla definizione: la regola dei trapezi sostituisce i rettangoli con trapezi, la regola di Simpson con archi di parabola. Con Simpson e solo 10 intervalli, \int_0^1 e^{-x^2}dx \approx 0{,}74682, già corretto alla quinta cifra decimale.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x