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Calcolo Numerico

Integrazione numerica: trapezi, Simpson, Romberg e Gauss

Regola dei trapezi e di Simpson con gli errori, esempio numerico, estrapolazione di Richardson, integrazione adattiva, formule di Gauss e segnali campionati.

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Molti integrali non hanno una primitiva esprimibile con funzioni elementari (\int e^{-x^2}dx, \int\frac{\sin x}{x}dx, la lunghezza di un’ellisse), e spesso la funzione è nota solo per punti, come i campioni di un segnale. L’integrazione numerica (o quadratura) approssima l’integrale con una somma pesata dei valori della funzione in alcuni punti. È così che un multimetro calcola il valore efficace di una tensione, che un contatore elettronico calcola l’energia consumata e che si stima l’area sotto una curva sperimentale.

L’idea comune

Si divide [a, b] in n intervalli di ampiezza h = (b - a)/n, con nodi x_i = a + ih, si approssima f su ogni intervallo con un polinomio e si integra il polinomio esattamente.

Integrazione numerica con la regola dei trapezi e con la regola di Simpson
A sinistra la regola dei trapezi: la funzione è sostituita da segmenti tra i nodi. A destra la regola di Simpson: su ogni coppia di intervalli la funzione è sostituita da una parabola per tre punti, che la segue molto meglio.

La regola dei trapezi

Su ogni intervallo si sostituisce f con il segmento tra i due estremi, e l’area è quella di un trapezio. Sommando:

    \[ \int_a^b f\,dx \approx T_h = h\left[\frac{f_0}{2} + f_1 + f_2 + \dots + f_{n-1} + \frac{f_n}{2}\right] \]

L’errore è

    \[ \int_a^b f\,dx - T_h = -\frac{(b - a)\,h^2}{12}\,f''(\xi) \]

proporzionale a h^2: dimezzando il passo l’errore si riduce di quattro volte. La regola è esatta per i polinomi di primo grado. Il segno della derivata seconda dice da che parte sta l’errore: per una funzione convessa i trapezi stanno sopra la curva e sovrastimano l’integrale.

La regola di Simpson

Con n pari, su ogni coppia di intervalli si sostituisce f con la parabola per i tre punti. Integrando la parabola si ottengono i pesi \frac h3(1, 4, 1), e sommando:

    \[ \int_a^b f\,dx \approx S_h = \frac h3\Big[f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + \dots + 2f_{n-2} + 4f_{n-1} + f_n\Big] \]

L’errore è

    \[ -\frac{(b - a)\,h^4}{180}\,f^{(4)}(\xi) \]

proporzionale a h^4: dimezzando il passo l’errore si riduce di sedici volte. Sorprendentemente la regola è esatta anche per i polinomi di terzo grado, non solo per le parabole: l’errore del termine cubico si cancella per simmetria.

Esempio. \int_0^1 e^{-x^2}dx = 0{,}746824\ldots Con n = 4 (h = 0{,}25):

MetodoValoreErrore
trapezi0,7429843{,}8\times 10^{-3}
Simpson0,7468553{,}1\times 10^{-5}

Con gli stessi cinque valori della funzione, Simpson è più di cento volte più preciso.

Dimostrazione: Simpson dai trapezi

L’errore dei trapezi ha la forma T_h = I + ch^2 + O(h^4). Calcolando con passo h e 2h e combinando per eliminare il termine in h^2:

    \[ \frac{4T_h - T_{2h}}{3} = I + O(h^4) \]

e svolgendo i conti si trova esattamente la regola di Simpson. È l’estrapolazione di Richardson: sapendo come si comporta l’errore lo si può eliminare. Ripetendo l’idea si ottiene il metodo di Romberg, che raggiunge alta precisione con pochi valori.

Stimare l’errore senza conoscere la derivata

Le formule dell’errore contengono derivate sconosciute. Nella pratica si confronta il risultato con due passi diversi: per i trapezi, I - T_h \approx \frac{T_h - T_{2h}}{3}. I programmi di integrazione adattiva fanno così su ogni sotto-intervallo, e infittiscono i punti solo dove la funzione varia in fretta: pochi punti dove è piatta, molti vicino a un picco.

Le formule di Gauss

Trapezi e Simpson usano nodi equidistanti. Se si possono scegliere anche le posizioni dei nodi, con n punti si può integrare esattamente un polinomio di grado 2n - 1: sono le formule di Gauss-Legendre. Con due soli punti in \pm\frac{1}{\sqrt3} su [-1, 1]:

    \[ \int_{-1}^{1}f\,dx \approx f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt3}\right) + f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right) \]

esatta per tutti i polinomi di terzo grado, come Simpson ma con un punto in meno. I nodi sono le radici dei polinomi di Legendre. Sono le formule usate nei programmi a elementi finiti, dove ogni valutazione della funzione costa cara.

Integrali di segnali campionati

Per un segnale campionato con periodo T i nodi sono fissati dal convertitore, e si usano i trapezi o Simpson sui campioni. Esempio: il valore efficace di una tensione,

    \[ V_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T_p}\int_0^{T_p}v^2(t)\,dt} \]

si calcola nei multimetri “true RMS” sommando i quadrati dei campioni su un periodo. Per un segnale periodico campionato su un numero intero di periodi, la regola dei trapezi è sorprendentemente precisa: l’errore decresce più velocemente di qualsiasi potenza di h, perché gli errori agli estremi si cancellano. È lo stesso motivo per cui la DFT calcola esattamente i coefficienti di Fourier dei segnali a banda limitata.

Integrali impropri e singolarità

Su intervalli infiniti si tronca l’intervallo dove la funzione è trascurabile, o si cambia variabile per riportarlo finito. Se la funzione ha una singolarità integrabile, come \frac{1}{\sqrt x} in 0, le formule con nodi negli estremi falliscono (f(0) è infinito) e la convergenza è lenta: conviene togliere la singolarità con un cambio di variabile (qui x = t^2) prima di integrare.

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