Analisi Matematica 1

Esercizi sui limiti svolti, dal livello base all’esame

Ventidue esercizi con soluzione: limiti notevoli, forme indeterminate, 1 alla infinito, confronto, sviluppi di Taylor, parametri, successioni e asintoti, con i grafici.

ielettronica 25 ottobre 2026 12 min di lettura 0 commenti

Esercizi sui limiti di funzioni e di successioni del tipo che si danno nei corsi di Analisi matematica 1, in tre livelli: base, per l’uso diretto dei limiti notevoli e delle tecniche elementari; medio, con forme $1^\infty$ , $0\cdot\infty$ , cambi di variabile e confronto; esame, con sviluppi di Taylor, parametri e asintoti, come negli scritti e negli esoneri. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa si apre con un clic. Le tabelle dei limiti notevoli e degli sviluppi sono nell’approfondimento collegato in cima.

Livello base

Esercizio 1. Un limite notevole con il seno

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{3x}$ .

Risultato: $\frac{5}{3}$ .

Soluzione

Per $x \to 0$ anche $5x \to 0$ , quindi $\sin 5x \sim 5x$ . Sostituendo nel quoziente: $\dfrac{5x}{3x} = \dfrac{5}{3}$ .

In alternativa, senza equivalenze: $\dfrac{\sin 5x}{3x} = \dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\sin 5x}{5x}$ , e il secondo fattore tende a 1.

Grafico dell'esercizio 1 — La curva blu è seno di 5 x fratto 3 x; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 5/3. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 2. Coseno e seno insieme

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x\sin x}$ .

Risultato: $\frac{1}{2}$ .

Soluzione

Numeratore e denominatore sono prodotti e quozienti di infinitesimi: si possono sostituire con gli equivalenti. $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ e $x\sin x \sim x\cdot x = x^2$ . Il limite è $\dfrac{x^2/2}{x^2} = \dfrac{1}{2}$ .

Grafico dell'esercizio 2 — La curva blu è 1 meno coseno di x fratto x per seno di x; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1/2. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 3. Rapporto di polinomi all’infinito

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}$ .

Risultato: $\frac{3}{2}$ .

Soluzione

Forma $\infty/\infty$ . Si raccoglie la potenza più alta sopra e sotto:

$\frac{x^2\left(3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2 + \frac{5}{x^2}\right)} \to \frac{3}{2}$

Regola generale per i rapporti di polinomi all’infinito: conta solo il rapporto dei termini di grado massimo. Con grado uguale si ottiene il rapporto dei coefficienti; con il numeratore di grado maggiore $\pm\infty$ ; con il denominatore di grado maggiore 0.

Grafico dell'esercizio 3 — La curva blu è il rapporto dei due polinomi; per x che tende a più infinito si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 3/2.

Esercizio 4. Una differenza di infiniti con la radice

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .

Risultato: $\frac{1}{2}$ .

Soluzione

Forma $\infty - \infty$ . Si razionalizza moltiplicando e dividendo per $\sqrt{x^2 + x} + x$ :

$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \to \frac{1}{2}$

(Per $x \gt 0$ , $\sqrt{x^2} = x$ ; per $x \to -\infty$ sarebbe $\sqrt{x^2} = -x$ e il limite cambierebbe: diventa $+\infty$ .)

Grafico dell'esercizio 4 — La curva blu è radice di x quadro più x, meno x; per x che tende a più infinito si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1/2.

Esercizio 5. Esponenziale e logaritmo

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 3x)}$ .

Risultato: $\frac{2}{3}$ .

Soluzione

$e^{2x} - 1 \sim 2x$ e $\ln(1 + 3x) \sim 3x$ . Il limite è $\dfrac{2x}{3x} = \dfrac{2}{3}$ .

Grafico dell'esercizio 5 — La curva blu è e alla 2 x meno 1, fratto logaritmo di 1 più 3 x; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 2/3. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 6. Scomporre e semplificare

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$ .

Risultato: 4.

Soluzione

Sostituendo $x = 2$ si ottiene $0/0$ : entrambi i polinomi si annullano in 2, quindi entrambi sono divisibili per $x - 2$ (teorema di Ruffini).

$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{x + 2}{x - 1} \to \frac{4}{1} = 4$

Grafico dell'esercizio 6 — La curva blu è il rapporto dei due polinomi, che ha un asintoto verticale in x uguale a 1; per x che tende a 2 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 4. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Livello medio

Esercizio 7. Una forma 1 alla infinito

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)^x$ .

Risultato: $e^{-3}$ .

Soluzione

La base tende a 1 e l’esponente a $+\infty$ : forma $1^\infty$ . Si scrive la base come 1 più un infinitesimo: $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 1 - \dfrac{3}{x + 2}$ .

Si passa all’esponenziale: $\left(\dfrac{x - 1}{x + 2}\right)^x = e^{x\ln\left(1 - \frac{3}{x + 2}\right)}$ . Poiché $\ln(1 + u) \sim u$ per $u \to 0$ :

$x\ln\left(1 - \frac{3}{x + 2}\right) \sim x\cdot\left(-\frac{3}{x + 2}\right) \to -3$

e il limite è $e^{-3}$ . Lo stesso risultato si ottiene con il corollario $\left(1 + \frac{b}{x}\right)^x \to e^b$ , dopo aver notato che $x + 2 \sim x$ .

Grafico dell'esercizio 7 — La curva blu è x meno 1 fratto x più 2, elevato x; per x che tende a più infinito si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: e alla meno 3, circa 0,05.

Esercizio 8. Quando le equivalenze non bastano

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$ .

Risultato: $\frac{1}{6}$ .

Soluzione

Sostituire $\sin x \sim x$ al numeratore darebbe $x - x = 0$ : sbagliato, perché in una differenza i termini principali si cancellano. Serve il termine successivo dello sviluppo: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$ .

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^4)}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x) \to \frac{1}{6}$

Con de l’Hôpital (lecito: forma $0/0$ ): $\dfrac{1 - \cos x}{3x^2} \to \dfrac{1/2}{3} = \dfrac{1}{6}$ .

Grafico dell'esercizio 8 — La curva blu è x meno seno di x, fratto x al cubo; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1/6. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 9. Il logaritmo del coseno

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}$ .

Risultato: $-\frac{1}{2}$ .

Soluzione

Si scrive $\cos x = 1 + (\cos x - 1)$ , con $u = \cos x - 1 \to 0$ . Quindi $\ln(\cos x) = \ln(1 + u) \sim u = \cos x - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2}$ .

Il limite è $\dfrac{-x^2/2}{x^2} = -\dfrac{1}{2}$ . È un passaggio che ricorre spesso: $\ln f \sim f - 1$ quando $f \to 1$ .

Grafico dell'esercizio 9 — La curva blu è logaritmo del coseno di x fratto x quadro; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: meno 1/2. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 10. Zero per infinito

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x$ .

Risultato: 0.

Soluzione

Forma $0\cdot(-\infty)$ . Si pone $x = 1/t$ , con $t \to +\infty$ : $x\ln x = \dfrac{1}{t}\ln\dfrac{1}{t} = -\dfrac{\ln t}{t} \to 0$ , per la gerarchia degli infiniti (il logaritmo è trascurabile rispetto a qualunque potenza).

Più in generale $x^\alpha\ln x \to 0$ per $x \to 0^+$ per ogni $\alpha \gt 0$ : la potenza “vince” anche vicino a zero.

Grafici di x per logaritmo di x e di x alla x — La curva arancione, x per log x, tende a zero per x che tende a zero da destra e ha minimo meno 1 su e in x uguale a 1 su e. La curva blu, x alla x, che è e elevato alla curva arancione, tende a 1 e ha minimo in x uguale a 1 su e.

Esercizio 11. Zero alla zero

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^x$ .

Risultato: 1.

Soluzione

Forma $0^0$ . Si passa all’esponenziale: $x^x = e^{x\ln x}$ . L’esponente tende a 0 (esercizio precedente) e l’esponenziale è continua, quindi $x^x \to e^0 = 1$ .

Esercizio 12. Un cambio di variabile all’infinito

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{1/x} - 1\right)$ .

Risultato: 1.

Soluzione

Forma $\infty\cdot 0$ . Con $t = 1/x \to 0^+$ : $x\left(e^{1/x} - 1\right) = \dfrac{e^t - 1}{t} \to 1$ .

È un esempio della regola: quando $x \to \infty$ , il cambio $t = 1/x$ riporta i limiti notevoli “in 0”.

Grafico dell'esercizio 12 — La curva blu è x per e alla 1 su x meno 1; per x che tende a più infinito si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1.

Esercizio 13. Spostarsi nel punto giusto

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to\pi/2}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\tan x$ .

Risultato: 1.

Soluzione

I limiti notevoli sono “in 0”: si pone $t = \frac{\pi}{2} - x \to 0$ . Allora $\tan x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \dfrac{\cos t}{\sin t}$ (formule degli archi associati).

$\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\tan x = t\cdot\frac{\cos t}{\sin t} = \frac{t}{\sin t}\cdot\cos t \to 1\cdot 1 = 1$

Il limite è lo stesso da destra e da sinistra: per $x \gt \pi/2$ sia $t$ sia $\tan x$ sono negativi.

Grafico dell'esercizio 13 — La curva blu è pi mezzi meno x, per tangente di x; per x che tende a pi mezzi si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 14. Un rapporto di logaritmi

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln x}$ .

Risultato: 2.

Soluzione

Si raccoglie $x^2$ dentro il logaritmo: $\ln(x^2 + 1) = \ln\left[x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right] = 2\ln x + \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$ .

Il secondo termine tende a 0, quindi $\dfrac{\ln(x^2 + 1)}{\ln x} = 2 + \dfrac{\ln(1 + 1/x^2)}{\ln x} \to 2$ .

Grafico dell'esercizio 14 — La curva blu è logaritmo di x quadro più 1 fratto logaritmo di x; per x che tende a più infinito si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 2.

Esercizio 15. Il teorema del confronto

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}$ .

Risultato: 0.

Soluzione

$\sin(1/x)$ non ha limite per $x \to 0$ : oscilla tra $-1$ e 1 sempre più velocemente. Ma è limitata: $\left|\sin\frac{1}{x}\right| \le 1$ , quindi

$-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$

Entrambi gli estremi tendono a 0, e per il teorema del confronto (dei carabinieri) anche la funzione centrale. Regola utile: infinitesimo per funzione limitata è un infinitesimo.

La funzione x al quadrato per seno di 1 su x stretta tra due parabole — La curva blu oscilla sempre più rapidamente vicino all’origine, ma resta tra le parabole meno x al quadrato e x al quadrato, in arancione, che tendono entrambe a zero e la costringono a fare lo stesso.

Livello esame

Esercizio 16. Taylor con la radice

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1 - x}{x^2}$ .

Risultato: $-\frac{1}{2}$ .

Soluzione

L’equivalenza $\sqrt{1 + 2x} - 1 \sim x$ cancellerebbe il $-x$ e darebbe 0: errore. Si sviluppa al secondo ordine $(1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + o(u^2)$ con $u = 2x$ :

$\sqrt{1 + 2x} = 1 + x - \frac{4x^2}{8} + o(x^2) = 1 + x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

Numeratore: $-\dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ . Il limite è $-\dfrac{1}{2}$ .

Grafico dell'esercizio 16 — La curva blu è radice di 1 più 2 x, meno 1 meno x, fratto x quadro; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: meno 1/2. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 17. Seno meno x per coseno

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^3}$ .

Risultato: $\frac{1}{3}$ .

Soluzione

Il denominatore è di ordine 3, quindi si sviluppa il numeratore fino all’ordine 3:

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ ; $x\cos x = x\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$ .

Differenza: $-\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{2} + o(x^3) = \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ . Il limite è $\dfrac{1}{3}$ .

Regola pratica: si sviluppa ogni termine fino all’ordine del denominatore (o fino al primo ordine che non si cancella).

Grafico dell'esercizio 17 — La curva blu è seno di x meno x coseno di x, fratto x al cubo; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1/3. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 18. Differenza di due infiniti con Taylor

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}\right)$ .

Risultato: $\frac{1}{3}$ .

Soluzione

Forma $\infty - \infty$ . Denominatore comune:

$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2\sin^2 x}$

Il denominatore è $\sim x^2\cdot x^2 = x^4$ . Al numeratore: $\sin^2 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)$ (il doppio prodotto è $2\cdot x\cdot\left(-\frac{x^3}{6}\right) = -\frac{x^4}{3}$ ).

Numeratore: $\frac{x^4}{3} + o(x^4)$ . Il limite è $\dfrac{x^4/3}{x^4} = \dfrac{1}{3}$ .

Grafico di 1 su seno quadro di x meno 1 su x quadro — Le due funzioni separate esplodono in zero, ma la loro differenza resta limitata e tende a un terzo, indicato dalla retta tratteggiata.

Esercizio 19. Una forma 1 alla infinito con il coseno

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{1/x^2}$ .

Risultato: $e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt e} \approx 0{,}607$ .

Soluzione

$(\cos x)^{1/x^2} = e^{\ln(\cos x)/x^2}$ . L’esponente tende a $-\frac{1}{2}$ (esercizio 9), quindi il limite è $e^{-1/2}$ .

Grafico dell'esercizio 19 — La curva blu è coseno di x elevato 1 su x quadro; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1 su radice di e, circa 0,607. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 20. Determinare i parametri

Determina i numeri reali $a$ e $b$ per i quali il limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x) - ax - bx^2}{x^3}$ è finito, e calcolalo.

Risultato: $a = 1$ , $b = -\frac{1}{2}$ ; il limite vale $\frac{1}{3}$ .

Soluzione

Sviluppo: $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ . Il numeratore è

$(1 - a)x + \left(-\frac{1}{2} - b\right)x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

Diviso per $x^3$ : $\dfrac{1 - a}{x^2} + \dfrac{-\frac{1}{2} - b}{x} + \dfrac{1}{3} + o(1)$ .

1. Se $a \ne 1$ , il primo termine domina e il limite è infinito.

2. Se $a = 1$ ma $b \ne -\frac{1}{2}$ , domina il secondo termine: tende a $+\infty$ da un lato e a $-\infty$ dall’altro, quindi il limite non esiste.

3. Con $a = 1$ e $b = -\frac{1}{2}$ restano $\frac{1}{3} + o(1)$ : il limite vale $\frac{1}{3}$ .

Significato: $x - \frac{x^2}{2}$ è il polinomio di Taylor di ordine 2 del logaritmo, l’unico che approssima $\ln(1 + x)$ con un errore di ordine $x^3$ .

Grafico dell'esercizio 20 — La curva blu è il rapporto con a uguale a 1 e b uguale a meno 1/2; per x che tende a 0 si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: 1/3. Il cerchietto vuoto indica che in quel punto la funzione non è definita.

Esercizio 21. Il limite di una successione

Calcola $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]{2} - 1\right)$ .

Risultato: $\ln 2 \approx 0{,}693$ .

Soluzione

Forma $\infty\cdot 0$ . Si scrive $\sqrt[n]{2} = 2^{1/n}$ e si pone $t = 1/n \to 0^+$ :

$n\left(2^{1/n} - 1\right) = \frac{2^t - 1}{t} \to \ln 2$

Il passaggio dalla successione alla funzione è lecito per il teorema ponte (lezione sulle successioni): se il limite della funzione esiste, la successione ha lo stesso limite.

Grafico dell'esercizio 21 — La curva blu è i termini della successione n per radice n-esima di 2 meno 1; per n che cresce si avvicina alla retta rossa tratteggiata, il valore del limite: logaritmo di 2, circa 0,693.

Esercizio 22. Asintoti di una funzione razionale

Trova gli asintoti di $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ e stabilisci da che parte del grafico sta l’asintoto obliquo.

Risultato: asintoto verticale $x = 1$ ; asintoto obliquo $y = x + 1$ , con il grafico sopra l’asintoto per $x \gt 1$ e sotto per $x \lt 1$ .

Soluzione

Verticale. Il dominio è $x \ne 1$ . Per $x \to 1$ il numeratore tende a 2 e il denominatore a 0: $f \to +\infty$ per $x \to 1^+$ e $f \to -\infty$ per $x \to 1^-$ . Quindi $x = 1$ è asintoto verticale.

Orizzontale. Per $x \to \pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ : non c’è.

Obliquo. $m = \lim\dfrac{f(x)}{x} = \lim\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1$ ; $q = \lim\left(f(x) - x\right) = \lim\dfrac{x^2 + 1 - x^2 + x}{x - 1} = \lim\dfrac{x + 1}{x - 1} = 1$ . Asintoto $y = x + 1$ , sia a $+\infty$ sia a $-\infty$ .

Posizione. Con la divisione tra polinomi: $x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2$ , quindi $f(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}$ . La differenza $f(x) - (x + 1) = \dfrac{2}{x - 1}$ è positiva per $x \gt 1$ (grafico sopra l’asintoto) e negativa per $x \lt 1$ (sotto).

Per le funzioni razionali con grado del numeratore uguale al grado del denominatore più uno, la divisione dà subito l’asintoto obliquo e la posizione, senza calcolare limiti.

Grafico di x quadro più 1 fratto x meno 1 con i suoi asintoti — L’asintoto verticale x uguale a 1 e l’asintoto obliquo y uguale a x più 1 sono tratteggiati. Il ramo di destra sta sopra l’asintoto obliquo e ha un minimo, quello di sinistra sta sotto e ha un massimo.

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Livello base

Esercizio 1. Un limite notevole con il seno

Esercizio 2. Coseno e seno insieme

Esercizio 3. Rapporto di polinomi all’infinito

Esercizio 4. Una differenza di infiniti con la radice

Esercizio 5. Esponenziale e logaritmo

Esercizio 6. Scomporre e semplificare

Livello medio

Esercizio 7. Una forma 1 alla infinito

Esercizio 8. Quando le equivalenze non bastano

Esercizio 9. Il logaritmo del coseno

Esercizio 10. Zero per infinito

Esercizio 11. Zero alla zero

Esercizio 12. Un cambio di variabile all’infinito

Esercizio 13. Spostarsi nel punto giusto

Esercizio 14. Un rapporto di logaritmi

Esercizio 15. Il teorema del confronto

Livello esame

Esercizio 16. Taylor con la radice

Esercizio 17. Seno meno x per coseno

Esercizio 18. Differenza di due infiniti con Taylor

Esercizio 19. Una forma 1 alla infinito con il coseno

Esercizio 20. Determinare i parametri

Esercizio 21. Il limite di una successione

Esercizio 22. Asintoti di una funzione razionale

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