Esercizi su corrente, circuiti in continua e circuito RC svolti

Tredici esercizi con soluzione: resistività, velocità di deriva, serie e parallelo, massimo trasferimento di potenza, modello di Drude, leggi di Kirchhoff, ponte di Wheatstone, carica e scarica RC, lampadina, cavo coassiale, effetto Hall, Thévenin.

ielettronica 25 ottobre 2026 10 min di lettura 0 commenti

Esercizi su corrente elettrica, resistenza, circuiti in continua e circuito RC del tipo che si danno nei corsi di Fisica 2, in tre livelli: base, per resistività, velocità di deriva e collegamenti di resistori; medio, con il modello microscopico, le leggi di Kirchhoff, il ponte di Wheatstone e i transitori RC; esame, con problemi completi come negli scritti. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa si apre con un clic. Le dimostrazioni sono nella lezione e nell’approfondimento collegati in cima.

Costanti: $e = 1{,}602\cdot 10^{-19}$ C, $m_e = 9{,}109\cdot 10^{-31}$ kg; rame: $\rho = 1{,}7\cdot 10^{-8}$ Ω·m, $n = 8{,}5\cdot 10^{28}$ m $^{-3}$ .

Livello base

Esercizio 1. La resistenza di un filo

Calcola la resistenza di un filo di rame lungo 50 m con diametro 1,0 mm. Che diametro dovrebbe avere un filo di alluminio ( $\rho = 2{,}8\cdot 10^{-8}$ Ω·m) della stessa lunghezza per avere la stessa resistenza?

Risultato: 1,08 Ω; 1,28 mm.

Soluzione

Sezione: $A = \pi r^2 = \pi(0{,}5\cdot 10^{-3})^2 = 7{,}85\cdot 10^{-7}$ m². Resistenza: $R = \rho L/A = 1{,}7\cdot 10^{-8}\cdot 50/7{,}85\cdot 10^{-7} = 1{,}08$ Ω.

Per avere la stessa $R$ con la stessa lunghezza serve $A_{Al}/A_{Cu} = \rho_{Al}/\rho_{Cu}$ , e il diametro va come la radice: $d_{Al} = 1{,}0\cdot\sqrt{2{,}8/1{,}7} = 1{,}28$ mm. Nonostante la sezione maggiore, il filo di alluminio pesa circa la metà (densità 2,7 contro 8,9 g/cm³): per questo le linee aeree sono in alluminio.

Esercizio 2. Quanto è lenta la deriva

In un cavo di rame da 2,5 mm² scorre una corrente di 10 A. Trova la velocità di deriva degli elettroni e il tempo che impiegano a percorrere 1 m.

Risultato: $2{,}9\cdot 10^{-4}$ m/s; circa 57 minuti.

Soluzione

Densità di corrente: $J = I/A = 10/2{,}5\cdot 10^{-6} = 4{,}0\cdot 10^6$ A/m². Velocità di deriva: $v_d = \dfrac{J}{ne} = \dfrac{4{,}0\cdot 10^6}{8{,}5\cdot 10^{28}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}} = 2{,}9\cdot 10^{-4}$ m/s.

Tempo per 1 m: $1/2{,}9\cdot 10^{-4} \approx 3400$ s, quasi un’ora. La lampadina si accende subito perché si propaga il campo, non gli elettroni.

Esercizio 3. Serie e parallelo

Nel circuito della figura $E = 12$ V, $R_1 = 6$ Ω, $R_2 = 3$ Ω, $R_3 = 6$ Ω. Trova la resistenza equivalente e le correnti $I$ , $I_2$ , $I_3$ .

Circuito con un generatore, un resistore in serie e due resistori in parallelo — Il generatore E alimenta R1 in serie con il parallelo di R2 e R3. La corrente I attraversa R1 e si divide in I2 e I3 nei due rami in parallelo.

Risultato: $R_{eq} = 8$ Ω; $I = 1{,}5$ A, $I_2 = 1{,}0$ A, $I_3 = 0{,}5$ A.

Soluzione

Parallelo: $R_{23} = \dfrac{R_2R_3}{R_2 + R_3} = \dfrac{18}{9} = 2$ Ω. In serie con $R_1$ : $R_{eq} = 8$ Ω.

Corrente totale $I = 12/8 = 1{,}5$ A. Tensione sul parallelo: $V_{23} = R_{23}I = 3$ V. Quindi $I_2 = 3/3 = 1{,}0$ A e $I_3 = 3/6 = 0{,}5$ A. Controllo: $I_2 + I_3 = I$ .

Regola del partitore di corrente: nel parallelo la corrente si divide in proporzione inversa alle resistenze.

Esercizio 4. Generatore reale e massimo trasferimento di potenza

Una batteria ha forza elettromotrice 12 V e resistenza interna 0,5 Ω, ed è collegata a un carico di 5,5 Ω. Trova corrente, tensione ai morsetti e potenza sul carico. Per quale resistenza di carico la potenza sarebbe massima, e quanto varrebbe il rendimento?

Risultato: 2 A; 11 V; 22 W; massimo per $R = 0{,}5$ Ω, 72 W, rendimento 50 %.

Soluzione

$I = \dfrac{E}{R + r} = \dfrac{12}{6} = 2$ A. Tensione ai morsetti $V = E - rI = 11$ V. Potenza sul carico $P = RI^2 = 22$ W.

Potenza in funzione di $R$ : $P(R) = \dfrac{E^2R}{(R + r)^2}$ . Derivando, $P'(R) = E^2\dfrac{(R + r) - 2R}{(R + r)^3} = E^2\dfrac{r - R}{(R + r)^3}$ , che si annulla per $R = r$ . Allora $P_{max} = \dfrac{E^2}{4r} = \dfrac{144}{2} = 72$ W.

Rendimento $\eta = \dfrac{RI^2}{EI} = \dfrac{R}{R + r}$ : con $R = r$ metà della potenza si perde nel generatore. Per questo il massimo trasferimento si cerca nei segnali (antenne, amplificatori), mai nella distribuzione di energia, dove si vuole $R \gg r$ .

Potenza sul carico e rendimento in funzione del rapporto tra resistenza di carico e resistenza interna — La potenza, in blu, ha il massimo quando il carico è uguale alla resistenza interna; il rendimento, in arancione, in quel punto vale un mezzo e cresce verso 1 per carichi grandi.

Livello medio

Esercizio 5. Il modello di Drude per l’argento

L’argento ha resistività $1{,}59\cdot 10^{-8}$ Ω·m e $5{,}86\cdot 10^{28}$ elettroni liberi per m³. Calcola il tempo medio tra gli urti e la velocità di deriva in un filo da 1 mm² con 1 A.

Risultato: $\tau = 3{,}8\cdot 10^{-14}$ s; $v_d = 1{,}07\cdot 10^{-4}$ m/s.

Soluzione

Dal modello di Drude (approfondimento) $\sigma = ne^2\tau/m$ , quindi

$\tau = \frac{m}{ne^2\rho} = \frac{9{,}109\cdot 10^{-31}}{5{,}86\cdot 10^{28}\cdot(1{,}602\cdot 10^{-19})^2\cdot 1{,}59\cdot 10^{-8}} = 3{,}8\cdot 10^{-14}\ \text{s}$

Velocità di deriva: $v_d = \dfrac{J}{ne} = \dfrac{10^6}{5{,}86\cdot 10^{28}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}} = 1{,}07\cdot 10^{-4}$ m/s, un po’ più del rame perché l’argento ha meno elettroni liberi per unità di volume.

L’argento conduce meglio del rame pur avendo meno portatori: il tempo tra gli urti è più lungo ( $3{,}8$ contro $2{,}5\cdot 10^{-14}$ s).

Esercizio 6. Le leggi di Kirchhoff con due generatori

Nel circuito della figura $E_1 = 10$ V, $E_2 = 5$ V, $R_1 = 2$ Ω, $R_2 = 4$ Ω, $R_3 = 4$ Ω. Trova le tre correnti. Il generatore $E_2$ eroga o assorbe potenza?

Circuito con due generatori e tre rami — Il ramo di sinistra contiene E1 e R1, quello di destra E2 e R2, quello centrale R3. I tre rami sono collegati tra i nodi A e B. Le frecce indicano i versi scelti per le correnti.

Risultato: $I_1 = 1{,}875$ A, $I_2 = -0{,}3125$ A, $I_3 = 1{,}5625$ A; $E_2$ assorbe 1,56 W (si sta caricando).

Soluzione

Si usa il metodo dei nodi: preso B come riferimento (0 V), l’unica incognita è il potenziale $V_A$ . Con i versi della figura:

$I_1 = \dfrac{E_1 - V_A}{R_1}$ , $I_2 = \dfrac{E_2 - V_A}{R_2}$ , $I_3 = \dfrac{V_A}{R_3}$ .

Legge dei nodi in A: $I_1 + I_2 = I_3$ :

$\frac{10 - V_A}{2} + \frac{5 - V_A}{4} = \frac{V_A}{4}$

Moltiplicando per 4: $20 - 2V_A + 5 - V_A = V_A$ , quindi $V_A = 6{,}25$ V.

Correnti: $I_1 = 3{,}75/2 = 1{,}875$ A; $I_2 = -1{,}25/4 = -0{,}3125$ A; $I_3 = 6{,}25/4 = 1{,}5625$ A. Controllo: $1{,}875 - 0{,}3125 = 1{,}5625$ .

$I_2$ negativa significa che la corrente nel ramo di destra va in verso opposto alla freccia: entra nel morsetto positivo di $E_2$ . Il generatore assorbe la potenza $E_2|I_2| = 5\cdot 0{,}3125 = 1{,}56$ W: è una batteria sotto carica.

Bilancio: $E_1$ eroga $10\cdot 1{,}875 = 18{,}75$ W; nei resistori si dissipano $2\cdot 1{,}875^2 + 4\cdot 0{,}3125^2 + 4\cdot 1{,}5625^2 = 7{,}03 + 0{,}39 + 9{,}77 = 17{,}19$ W; più 1,56 W assorbiti da $E_2$ fa 18,75 W.

Esercizio 7. Il ponte di Wheatstone

Nel ponte della figura $R_1 = 100$ Ω, $R_2 = 200$ Ω, $R_3 = 150$ Ω. Il galvanometro G segna zero. Quanto vale $R_x$ ? Dimostra la condizione di equilibrio.

Risultato: $R_x = 300$ Ω.

Soluzione

Se nel galvanometro non passa corrente, C e D sono allo stesso potenziale e i due lati del ponte sono due partitori indipendenti, alimentati dalla stessa tensione $E$ .

Lato sinistro: $V_C = E\dfrac{R_3}{R_1 + R_3}$ (rispetto al vertice inferiore). Lato destro: $V_D = E\dfrac{R_x}{R_2 + R_x}$ .

$V_C = V_D$ dà $\dfrac{R_3}{R_1 + R_3} = \dfrac{R_x}{R_2 + R_x}$ , cioè $R_3R_2 + R_3R_x = R_xR_1 + R_xR_3$ , e quindi

$R_x = \frac{R_2R_3}{R_1} = \frac{200\cdot 150}{100} = 300\ \Omega$

La condizione non dipende da $E$ né dalla resistenza del galvanometro: per questo il ponte misura resistenze con grande precisione, e nella versione sbilanciata è il circuito degli estensimetri e dei sensori a ponte.

Esercizio 8. La carica di un condensatore

Un condensatore da 47 µF, inizialmente scarico, si carica attraverso un resistore da 10 kΩ da una batteria di 9 V. Trova la costante di tempo, la corrente iniziale, il tempo per arrivare a 6 V e l’energia immagazzinata alla fine.

Risultato: $\tau = 0{,}47$ s; 0,90 mA; 0,52 s; 1,9 mJ.

Soluzione

$\tau = RC = 10^4\cdot 47\cdot 10^{-6} = 0{,}47$ s. All’istante iniziale il condensatore è un cortocircuito: $i(0) = E/R = 0{,}90$ mA.

Da $v(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ : $e^{-t/\tau} = 1 - \frac{6}{9} = \frac{1}{3}$ , quindi $t = \tau\ln 3 = 0{,}47\cdot 1{,}099 = 0{,}52$ s.

Energia finale: $\frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\cdot 47\cdot 10^{-6}\cdot 81 = 1{,}9$ mJ. La batteria ha fornito il doppio, $CE^2 = 3{,}8$ mJ: l’altra metà è stata dissipata nel resistore (lezione).

Circuito RC durante la carica — A sinistra il circuito; a destra la tensione sul condensatore che sale verso E e la corrente che scende verso zero, con la costante di tempo tau.

Esercizio 9. La scarica di un condensatore

Un condensatore da 100 µF carico a 50 V si scarica su un resistore da 2 kΩ. Dopo quanto tempo la tensione scende a 5 V? Quanta energia viene dissipata in tutto?

Risultato: 0,46 s; 0,125 J.

Soluzione

Nella scarica $v(t) = V_0e^{-t/\tau}$ , con $\tau = RC = 2000\cdot 10^{-4} = 0{,}2$ s.

$5 = 50\,e^{-t/\tau}$ dà $t = \tau\ln 10 = 0{,}2\cdot 2{,}303 = 0{,}46$ s. Ogni costante di tempo la tensione si riduce a $1/e \approx 37$ %.

Energia: tutta quella immagazzinata, $\frac{1}{2}CV_0^2 = \frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 2500 = 0{,}125$ J, finisce in calore nel resistore. Si verifica integrando: $\int_0^\infty\frac{v^2}{R}dt = \frac{V_0^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac{2500}{2000}\cdot 0{,}1 = 0{,}125$ J.

Scarica del condensatore — La tensione parte da 50 V e decresce in modo esponenziale; dopo una costante di tempo, punto arancione, vale circa 18 V; al tempo t1, punto rosso, arriva a 5 V.

Livello esame

Esercizio 10. La lampadina a incandescenza

Una lampadina a filamento di tungsteno è da 60 W a 230 V. A temperatura ambiente (20 °C) il filamento misura 70 Ω. Con il coefficiente di temperatura $\alpha = 4{,}5\cdot 10^{-3}$ K $^{-1}$ , stima la temperatura di funzionamento, e confronta la corrente all’accensione con quella a regime.

Risultato: circa 2600 °C; all’accensione 3,3 A contro 0,26 A a regime (circa 13 volte).

Soluzione

Resistenza a caldo: $R = V^2/P = 230^2/60 = 882$ Ω.

Con la legge lineare $R = R_{20}(1 + \alpha\,\Delta T)$ : $1 + \alpha\,\Delta T = 882/70 = 12{,}6$ , quindi $\Delta T = 11{,}6/4{,}5\cdot 10^{-3} \approx 2580$ K e $T \approx 2600$ °C. (La legge lineare è solo un’approssimazione su un intervallo così grande, ma l’ordine di grandezza è giusto: il tungsteno fonde a 3422 °C.)

Correnti: a regime $230/882 = 0{,}26$ A; all’accensione, con il filamento freddo, $230/70 = 3{,}3$ A (valori efficaci). Il picco dura pochi millisecondi, finché il filamento si scalda, ed è il motivo per cui le lampadine si bruciano quasi sempre al momento dell’accensione.

Esercizio 11. L’isolante di un cavo coassiale

Un cavo coassiale lungo 100 m ha conduttore interno di raggio 0,50 mm e calza di raggio 1,75 mm, separati da polietilene ( $\rho = 10^{13}$ Ω·m, $\varepsilon_r = 2{,}3$ ). Calcola la resistenza d’isolamento, la corrente di perdita con 1 kV, e il prodotto $RC$ tra resistenza d’isolamento e capacità del cavo.

Risultato: $2{,}0\cdot 10^{10}$ Ω; 50 nA; $RC = \rho\varepsilon = 204$ s, indipendente dalla geometria.

Soluzione

Resistenza radiale (approfondimento): $R = \dfrac{\rho}{2\pi L}\ln\dfrac{b}{a} = \dfrac{10^{13}}{2\pi\cdot 100}\ln 3{,}5 = 2{,}0\cdot 10^{10}$ Ω. Corrente con 1 kV: $10^3/2{,}0\cdot 10^{10} = 50$ nA.

Capacità del cavo coassiale: $C = \dfrac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)} = \dfrac{2\pi\cdot 2{,}3\cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}\cdot 100}{1{,}253} = 10{,}2$ nF.

Prodotto: $RC = \dfrac{\rho}{2\pi L}\ln\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)} = \rho\varepsilon = 10^{13}\cdot 2{,}3\cdot 8{,}854\cdot 10^{-12} = 204$ s.

Il risultato $RC = \rho\varepsilon$ vale per qualunque coppia di elettrodi immersi in un mezzo omogeneo, perché resistenza e capacità dipendono dalla geometria in modo inverso. È il tempo in cui un condensatore con quel dielettrico si scarica da solo attraverso le perdite.

Corrente di perdita radiale in un cavo coassiale — La corrente va dal conduttore interno alla calza attraverso l’isolante, in gusci cilindrici concentrici.

Esercizio 12. Misurare la densità dei portatori con l’effetto Hall

Una lamina di semiconduttore spessa 0,20 mm è percorsa da 5,0 mA in un campo magnetico perpendicolare di 0,50 T. Si misura una tensione di Hall di 25 mV, con il segno che indica portatori negativi. Trova la densità dei portatori e confrontala con il rame.

Risultato: $n = 3{,}1\cdot 10^{21}$ m $^{-3}$ , circa 27 milioni di volte meno del rame.

Soluzione

Dalla formula dell’effetto Hall (approfondimento) $V_H = \dfrac{IB}{nqt}$ :

$n = \frac{IB}{e\,t\,V_H} = \frac{5{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}50}{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}025} = 3{,}1\cdot 10^{21}\ \text{m}^{-3}$

Rapporto con il rame: $8{,}5\cdot 10^{28}/3{,}1\cdot 10^{21} \approx 2{,}7\cdot 10^7$ . Proprio perché $n$ è piccolo la tensione di Hall è grande e misurabile: nel rame, con gli stessi dati, sarebbe circa 1 nV.

Il segno dice che i portatori sono elettroni: è un semiconduttore di tipo n.

Effetto Hall in una lamina — La forza di Lorentz spinge i portatori su un bordo della lamina, e tra i due bordi si forma la tensione di Hall.

Esercizio 13. Un circuito RC con il teorema di Thévenin

Nel circuito della figura $E = 12$ V, $R_1 = 4$ kΩ, $R_2 = 12$ kΩ, $C = 10$ µF, e il condensatore è inizialmente scarico. Trova la tensione sul condensatore in funzione del tempo e la corrente erogata dal generatore all’inizio e alla fine.

Circuito RC con due resistori e il suo equivalente di Thévenin — A sinistra il generatore E alimenta R1 in serie, poi R2 e il condensatore C in parallelo. A destra lo stesso circuito visto dal condensatore: un generatore V th con in serie R th.

Risultato: $v_C(t) = 9\left(1 - e^{-t/30\,\text{ms}}\right)$ V; corrente dal generatore 3,0 mA all’inizio e 0,75 mA a regime.

Soluzione

Visto dai morsetti del condensatore, il resto del circuito è un partitore. Thévenin: tensione a vuoto $V_{th} = E\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 12\cdot\dfrac{12}{16} = 9$ V; resistenza con il generatore spento (cortocircuito) $R_{th} = R_1 \parallel R_2 = \dfrac{4\cdot 12}{16} = 3$ kΩ.

Il circuito equivalente è un RC semplice: $\tau = R_{th}C = 3\cdot 10^3\cdot 10^{-5} = 30$ ms, e $v_C(t) = 9\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ V. Il condensatore non arriva a 12 V ma a 9 V, la tensione su $R_2$ a regime.

Corrente dal generatore: all’inizio il condensatore è un cortocircuito che esclude $R_2$ , quindi $i = E/R_1 = 3{,}0$ mA. A regime il condensatore è un circuito aperto, e $i = E/(R_1 + R_2) = 0{,}75$ mA.

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Livello base

Esercizio 1. La resistenza di un filo

Esercizio 2. Quanto è lenta la deriva

Esercizio 3. Serie e parallelo

Esercizio 4. Generatore reale e massimo trasferimento di potenza

Livello medio

Esercizio 5. Il modello di Drude per l’argento

Esercizio 6. Le leggi di Kirchhoff con due generatori

Esercizio 7. Il ponte di Wheatstone

Esercizio 8. La carica di un condensatore

Esercizio 9. La scarica di un condensatore

Livello esame

Esercizio 10. La lampadina a incandescenza

Esercizio 11. L’isolante di un cavo coassiale

Esercizio 12. Misurare la densità dei portatori con l’effetto Hall

Esercizio 13. Un circuito RC con il teorema di Thévenin

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