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Fisica 2

Corrente elettrica, legge di Ohm, leggi di Kirchhoff e circuito RC

Corrente e velocità di deriva, resistività, effetto Joule, generatori e leggi di Kirchhoff, carica del condensatore con dimostrazione e bilancio energetico.

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Finora le cariche erano ferme. Quando si muovono c’è una corrente elettrica, e con le correnti arrivano i circuiti. Questa lezione è il ponte tra la fisica e l’elettrotecnica: definisce corrente e resistenza a partire dal moto degli elettroni, ricava la legge di Ohm e l’effetto Joule, introduce le leggi di Kirchhoff e studia il circuito RC.

La corrente elettrica

La corrente è la carica che attraversa una sezione del conduttore nell’unità di tempo:

    \[ I = \frac{dQ}{dt}\qquad[\text{A} = \text{C/s}] \]

Per convenzione il verso è quello in cui si muoverebbero le cariche positive; nei metalli gli elettroni si muovono in verso opposto. La densità di corrente \vec J (A/m²) è la corrente per unità di area.

La velocità di deriva

Se nel conduttore ci sono n portatori per unità di volume, ciascuno con carica q, che si muovono in media con velocità v_d, allora J = n\,q\,v_d.

Esempio. Un filo di rame di 1 mm² con 1 A. Il rame ha circa 8{,}5\times 10^{28} elettroni liberi per m³. v_d = \frac{J}{ne} = \frac{10^6}{8{,}5\times 10^{28}\cdot 1{,}6\times 10^{-19}} \approx 7\times 10^{-5} m/s: meno di un decimo di millimetro al secondo. La lampadina si accende subito non perché gli elettroni corrano, ma perché il campo si propaga lungo il filo quasi alla velocità della luce e mette in moto contemporaneamente tutti gli elettroni del circuito.

Legge di Ohm e resistività

In molti materiali la densità di corrente è proporzionale al campo: \vec J = \sigma\vec E, con \sigma conducibilità. Per un filo di lunghezza L e sezione A, con V = EL e I = JA:

    \[ V = R\,I,\qquad R = \rho\,\frac{L}{A} \]

dove \rho = 1/\sigma è la resistività (Ω·m). Il rame ha \rho = 1{,}7\times 10^{-8} Ω·m: un metro di filo da 1 mm² ha 17 mΩ. Una pista di un circuito stampato larga 0,25 mm con rame da 35 µm ha circa 2 mΩ per millimetro, e su una pista lunga 10 cm con 2 A cadono 0,4 V: abbastanza per disturbare un circuito di precisione.

La resistività dei metalli cresce con la temperatura (per il rame circa lo 0,4% per grado), quella dei semiconduttori diminuisce. Il primo effetto si sfrutta nelle sonde di temperatura al platino (Pt100), il secondo nei termistori NTC.

Potenza ed effetto Joule

Una carica dQ che attraversa una differenza di potenziale V cede l’energia V\,dQ. La potenza è

    \[ P = V\,I = R\,I^2 = \frac{V^2}{R} \]

Nei resistori questa energia diventa calore (effetto Joule): gli elettroni accelerati dal campo urtano il reticolo e cedono energia. È il principio delle stufe e dei fusibili, ed è la ragione per cui le linee elettriche lavorano ad alta tensione: a parità di potenza trasportata la corrente è minore, e le perdite RI^2 calano con il quadrato.

Generatori e leggi di Kirchhoff

Un generatore mantiene una differenza di potenziale spendendo un’altra forma di energia (chimica in una pila, meccanica in una dinamo). La sua forza elettromotrice \mathcal E è il lavoro per unità di carica; un generatore reale ha anche una resistenza interna r, e ai suoi capi si misura V = \mathcal E - rI.

Le leggi di Kirchhoff permettono di analizzare qualsiasi circuito:

  1. ai nodi: la somma delle correnti entranti è uguale a quella delle uscenti (conservazione della carica);
  2. alle maglie: lungo ogni percorso chiuso la somma delle tensioni è zero (il campo elettrostatico è conservativo).

Ne seguono le regole dei collegamenti: in serie le resistenze si sommano, in parallelo si sommano le conduttanze 1/R.

Il circuito RC

Un condensatore C si carica attraverso una resistenza R da un generatore \mathcal E.

Circuito RC con generatore, interruttore, resistenza e condensatore, e grafici di tensione e corrente
A sinistra il circuito; a destra, dopo la chiusura dell’interruttore, la tensione sul condensatore (rossa) sale verso E e la corrente (blu tratteggiata) scende verso zero. Dopo una costante di tempo τ = RC la tensione ha raggiunto il 63% del valore finale.

Dimostrazione della legge di carica

Per la legge delle maglie, \mathcal E = R\,i + v, con v = q/C e i = dq/dt = C\,dv/dt:

    \[ RC\,\frac{dv}{dt} + v = \mathcal E \]

È un’equazione lineare del primo ordine (lezione di Analisi 2): con il condensatore inizialmente scarico,

    \[ v(t) = \mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\qquad i(t) = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau},\qquad \tau = RC \]

All’istante iniziale il condensatore scarico si comporta come un cortocircuito (i = \mathcal E/R); a regime come un circuito aperto (i = 0). La costante di tempo \tau misura la velocità del transitorio: con R = 10 kΩ e C = 100 nF, \tau = 1 ms, e dopo 5\tau = 5 ms il condensatore è carico al 99,3%.

Il bilancio energetico

Il generatore fornisce in totale \mathcal E\,Q = C\mathcal E^2. Nel condensatore ne restano \frac12 C\mathcal E^2. L’altra metà è dissipata nella resistenza, \int_0^\infty R\,i^2\,dt = \frac12 C\mathcal E^2, qualunque sia il valore di R. Caricare un condensatore da una sorgente di tensione costante spreca sempre metà dell’energia: è uno dei motivi per cui i circuiti digitali consumano in proporzione a CV^2f, e per cui ridurre la tensione di alimentazione è il modo più efficace di ridurre i consumi.

Il circuito RC è ovunque: nei filtri passa basso e passa alto, nei circuiti di reset dei microcontrollori, nei temporizzatori come il 555 e nei circuiti antirimbalzo dei pulsanti.

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